Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

и равны нулю при /г > N. Таким образом, Ср = MlpN, где М — наибольшее значение величины производной, выбранное из всего их набора. Ряд (283) в этом случае представляет собой конечную сумму.

Процесс определения производных поля на катоде становится более устойчивым, если приблизить поле на границе цилиндра сох (рис. 22). В случае использования гармонических полиномов про­ изводные в центре катода приближают следующим образом. По­ тенциал на границе цилиндра со 1приближают полиномом по одному из стандартных способов. Из выражений (190) и для случая пло­ ского катода U(2n) (г, 0) = 0 имеем

Подстановка (292) в (291) приводит к системе линейных урав­ нений относительно неизвестных Et (і = 1, 2, 3, . . . ), позволяю­ щей приближенно вычислить их

104

Если U (r0, z) приближенно посредством гладкой функции, то система (293) становится регулярной, а если полиномом — то конечной. Однако, хотя приближение гармоническим полиномом обрывает ряд (283), так как производные E t чрезвычайно быстро возрастают по величине, этот ряд сходится очень плохо, а ошибка определяется последними его членами, которые не могут быть

U(r,z)

Рис. 23. Приближение поля гладкими функциями в прикатодной части линзы

вычислены с большой точностью. Таким образом, приближение поля гармоническими полиномами пригодно для вычисления ве­ личины E t и ошибок изображения лишь в случае очень гладких полей и узкой области приближения поля. Устойчивость задачи приближения поля, вычисления производных Et и ошибок изобра­ жения значительно повышается, если для приближения исполь­ зовать функции (290) или (425) приложения 6.

На рис. 23 показан результат приближения поля на поверх­ ности прикатодного цилиндра радиусом 1 и длиной 2 (см. рис. 22). Для приближения использовалась система функций (290). Кри­ вые / и 2 показывают распределение потенциала соответственно

105

Г Л А В А V

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

§ 15. Общая постановка задачи

Обратная электронно-оптическая задача уже была сформулиро­ вана во введении как задача расчета источников поля по наперед заданным свойствам изображения. В этой главе мы остановимся на рассмотрении этой задачи для осесимметричных систем.

В § 10 параметры оптического изображения были выражены через характеристические траектории R x и R 2, которые вычис­ ляются по формулам (241). Так, положение плоскости изображе­ ния определяется первым нулем траектории R t. Увеличение в центре выражается через эти траектории с помощью теоремы Гельмгольца (250), а формулы (271) и (272) выражают коэффи­ циенты аберраций через эти же траектории, потенциалы и напря­ женности фокусирующих полей, вычисленные вдоль оси сим­ метрии. Траектории R t и R 2, в свою очередь, являются функцио­ налами осевого поля как решения параксиального уравнения (230). Таким образом, обеспечение заданных значений для параметров изображения сводится к выписыванию системы сложных функцио­ нальных уравнений для R lf R 2, U и Ф, где U и Ф — соответственно распределения на оси электро- и магнитостатических потенциалов.

В самой общей постановке эта система уравнений может быть

у (У, ф ) = яР+з,

где G,- — коэффициенты аберраций третьего порядка, вычисляе­ мые, например, по формулам (272); qt (і = 1, 2, . .. ., р + 3) —

числовые параметры, причем qt (і = 1, 2, . . ., р) определяют зна­ чения отдельных аберраций, qp+1 — положение плоскости изо­ бражения, qp+2 •— увеличение и qp+3 — угол поворота в электро­ магнитном поле (приближенное выражение этого угла через рас­ пределение полей будет приведено ниже). К системе (294) следует добавить еще уравнение (291), определяющее R 1 и R 2■ Систему функциональных уравнений (294) нетрудно свести обычным обра­ зом к проблеме минимизации положительной функции.

107

Систему (294) решают для того, чтобы получить V и Ф — рас­ пределение потенциалов на оси. В постановке (294) обратная за­ дача нелинейна. Иногда решение ее неединственно и неустойчиво. Чаще всего она вообще не имеет решения. Однако в этом случае всегда можно сформулировать множество задач, имеющих реше­ ние и сводящихся к системе (294), где правые части принимают значения q\, вместо qt, а затем искать на этом множестве решение, приближающее исходные параметры qt в какой-нибудь метрике. Такое решение приближенной задачи мы в дальнейшем будем называть о п т и м а л ь н ы м . Но если даже оптимальное реше­ ние найдено, немалые трудности возникают после этого при вы­ числении поля в пространстве. Формально гармоническое про­ должение поля с оси задано разложениями (190), но, как уже было отмечено во введении, задача о таком продолжении является за­ дачей Коши для уравнения Лапласа и решение ее неустойчиво. В этой главе будут кратко рассмотрены некоторые методы регу­ ляризации таких задач.

Для конструирования источников поля необходимо найти экви­ потенциальные поверхности в распределении продолженного с оси потенциала. Эта задача тесно связана с проблемой регуляризации задачи Коши. Как будет показано в § 16, априорный выбор экви­ потенциальных поверхностей может служить эффективным при­ емом регуляризации задачи и продолжения потенциала.

Наконец, обязательным завершающим этапом в решении обрат­ ных задач является решение прямой задачи, соответствующей вы­ численным источникам, и окончательное сравнение полученного таким образом изображения с изображением, которое было ис­

по таким одновременно заданным наперед параметрам электрон­ ного изображения, как его геометрические свойства в приосевой области (увеличение, положение гауссовой плоскости, угол пово­ рота), и аберрации. Кроме того, при расчете могут быть выпол­ нены некоторые дополнительные требования, наложенные на поле по технической необходимости (например, наличие экстре­ мума напряженности магнитного поля на катоде эмиссионной линзы). Эта постановка задачи настоятельно диктуется практикой.

Как это будет показано ниже, такая постановка выполняет совокупность требований, предъявляемых к изображению, лишь приближенно, причем заранее нельзя установить степень дости­ гаемого приближения.

Запишем подробнее требования, обычно предъявляемые к элек­ тронному изображению одновременно или в различных сочета­ ниях.

1. Положение плоскости идеального изображения (предельной плоскости) задано

Z = Z 1

108

(Oz— ось симметрии). При этом условие совпадения плоскости экрана с плоскостью Z = Z 1 можно записать в виде уравнения

2. Линейное увеличение линзы задано и равно М. Использовав теорему Гельмгольца, записываем это условие в виде уравнения

Это требование обеспечивает стабильные свойства изображения при незначительных изменениях параметров системы или силы тока в катушках.

5. В изображении отсутствуют те или иные аберрации третьего порядка, что можно записать в виде условия

где Gk — коэффициент соответствующей аберрации.

С учетом названных требований для поиска оптимального ре­ шения задачи составляем некий положительный функционал, и

электрического полей соответственно, причем желательно, чтобы полное число этих коэффициентов было не меньше числа условий, наложенных на поле.

109