Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
Функцию Ri (Z) представим в виде
|
|
Ri(Z) = |
f0(Z) |
S |
|
(302) |
|
|
|
1 + Е U n{2) |
|||||
где \ п (Z) (п = |
|
|
|
п=1 |
|
|
|
1, |
2, 3, |
. . .) — система функций, |
полная в том же |
||||
пространстве |
L 2 |
(Z0, |
Zx); |
ß„— неизвестные |
коэффициенты; |
||
функции |
могут также совпадать с ф„ |
или срп; / 0 (Z) — некая |
|||||
известная функция, введенная только для |
удобства вычислений, |
||||||
о чем подробнее будет сказано в § 17.
Сумма (302), вообще говоря, ни при каких значениях коэф фициентов ß„ не является решением уравнения (230), в котором h (Z) и U (Z) выражены согласно (300) и (301)1.
Формулу (301) можно рассматривать лишь как приближение истинного решения с помощью суперпозиции линейно независи мых функций. Поэтому при подстановке (300), (301) и (302) в (230)
правая |
часть |
уравнения равна не нулю, а некоторой функции |
0. |
(Z, |
ö2, • • 'f ^pi &If б2, ■• 'f ^ijf ßl> ß2» ■• •» ßs)‘ |
Чтобы вычислить коэффициенты аберраций Gk, необходимо знать не только осевое распределение поля и решение Ri (Z) урав нения (230), но и решение R 2 (Z), линейно независимое с первым. Вообще говоря, это второе решение выражается через первое ре шение с помощью вронскиана уравнения (230). При начальных условиях (238) выражение для вронскиана принимает вид
Ri (Z) R3(Z) - Rl (Z) R3(Z) = - |
У |
, |
(303) |
и R 2 (Z) можно найти интегрированием уравнения (303). |
|
||
Введем еще функцию |
|
|
|
/ |
Р |
/і (Z) dz |
(304) |
8(аъ а2, . . ., ар, Ьъ b2, . . . , b q) = a -j- n i l |
— ] |
- — |
|
|
|
1Z u (Z) |
|
' |
І о |
|
|
Теперь условие 4, выраженное формулой (298), сводится к ли нейному алгебраическому уравнению относительно коэффициентов поля ап, а условия 1 и 2 — к системе двух алгебраических урав нений относительно неизвестных ß„.
Условия 3 и 5 записываем в виде
б (аъ а,, . . ., ар, Ьъ |
Ь2, . . ., bq) = |
0, |
(305) |
Gk{au а2, ..., ар, Ьъ Ьъ . .., |
Ьф ßb ß2, ..., |
ßs) = 0. |
(306) |
Таким образом, условия 1, 2 и 4 свелись к линейным алгебраи ческим уравнениям. Уравнения (295) и (296) позволяют предста вить два из коэффициентов ß,- в виде линейной комбинации осталь ных.
1 Так как каждое из слагаемых суммы (302) не является решением урав нения (230), а число слагаемых конечно.
ПО
Уравнение (303) допускает то же самое относительно коэф фициентов at. Значения оставшихся независимыми коэффициен тов определяем из условия минимума функционала
Z,
F = р1 [ Q dZ -|- рф |
-\-рз ^ Gfe) |
(307) |
Іо |
k |
|
где Q — по-прежнему невязка параксиального уравнения; р и р.г |
||
и рз — весовые множители, которые |
выбираются |
в зависимости |
от специфики задачи. Для определения этих значений коэффи циентов поля применим, например, метод нелокального поиска минимума выражения (307), предложенный в работе [24]. В ка честве функций ф„, ф„ и %п в выражениях (300), (301) и (302) удобно принять степенные функции. В этом случае в формуле (302)
/о (Z) = У U0ZIE0, как это следует из (231).
Если известно поле, которое обеспечивает свойства изобра жения, близкие к заданным, то целесообразно принять его за нулевое приближение в решении задачи (294) и линеализовать ее, отыскивая локальный минимум соответствующих функционалов вблизи выбранного, как указано выше, нулевого приближения. Эта постановка задачи, вообще говоря, самая надежная, тоже пред ставляет собой некую регуляризацию некорректной задачи (294) и тоже будет рассмотрена в этой главе.
Если лучи выразить через форму (231), а ошибки изображе ния — через производные поля в центре катода Е {, то функцио нал F станет чисто алгебраической формой этих производных. Если, далее, за функции фг, срг и £г принять степенные функции, то окажется, что в (301) коэффициенты Ьп — п\ Еп. Коэффициенты луча и поля, т. е. а,,, Ьп и ß„ связаны в этом случае системами уравнений (235) и (237).
Таким образом, задача минимизации функционала F сводится
кминимизации алгебраической формы. Наиболее сложен вопрос
оналожении связей и ограничений на коэффициенты (или функции от них) в процессе поиска. Нами используется следующий прием
[52].Если наложена связь
h ( К Ei) § ck,
то в выражение (300) для минимизируемой функции вводится сла
гаемое —J - - —r^-, где е„ — весовой множитель, подбираемый в про-
\fk ' Ek)
цессе решения задачи.
§16. Общие методы расчета источников поля
впроцессе решения обратной задачи
Расчет источников потенциального поля. О том, что задача продолжения поля с оси симметрии неустойчива, было сказано во введении. Наиболее эффективный метод ее регуляризации, хотя
ЛІ
и обладающий ограниченными возможностями, состоит в том, чтобы заранее выбрать систему электродов простой формы, по зволяющую приблизить найденное распределение потенциала. Та кой системой могут быть, например, узкие кольца, соосные с осью симметрии. Выбрав систему из т колец, помещенных между ка тодом и анодом, обозначим через U{ потенциал этой системы элек тродов на оси, когда на t-м кольце задан потенциал, равный единице, а на остальных электродах— равный нулю. Через Uü обо значим потенциал этой системы электродов на оси, когда на аноде потенциал задан равный единице, а на всех остальных электро дах —• равный нулю.
Приняв во внимание линейность уравнения Лапласа, мы мо жем утверждать что функция U (С1; С2, . . ., Ст, Z), которую определим как
т |
|
и{Си Сг....... Cm,Z) = Е е д + СУ«, |
(308) |
/=1 |
|
соответствует осевому потенциалу системы колец, каждое і-е из которых заряжено до потенциала С,-.
С помощью функций Ul можно приближать осевой потенциал, рассчитанный минимизацией F, варьируя Сс по методу наимень ших квадратов.
Вернемся к рис. 4, на котором представлено меридиональное сечение системы электродов, состоящих из набора трех колец описанного выше типа, катода и анода, и к рис. 5, на котором показан уже обсуждавшийся в § 2 результат приближения функ ции U Напомним, что рисунки иллюстрировали методы регу ляризации, о которых говорилось в § 2. Функция U2соответствует единичному потенциалу второго кольца и нулевому потенциалу остальных электродов. Приближение поля, изображенного на рисунке, выполнялось по формуле (19), причем коэффициенты определялись методом наименьших квадратов, а затем поле усред нялось по Фейеру, как это показано в формуле (36), что позволяло одновременно и сглаживать поле и улучшать процесс прибли жения.
На рис. 26 приведены для иллюстрации аналогичные окон чательные результаты, полученные при вычислении функций U1 и U3в этой системе. Пример приближения заданного оптимального поля посредством вычисленных функций і/(. (і = 0, 1, 2, 3, . . .) будет подробно рассмотрен в § 19.
Можно ввести функции U{ в качестве функций ф„ в разложение потенциала (301) и сразу определить коэффициенты С( из условия минимума функционала F. Однако такой процесс усложняет про цесс минимизации, хотя и не требует решения дополнительной задачи о приближении рассчитанного поля. Каждая из функций Ul может быть вычислена одним из методов, рассмотренных в § 5, и введена в программу минимизации функционала в виде таб лицы.
1)2
Расчет магнитных катушек. При этом расчете можно посту пать так же, как при расчете электродов, но приближение магнит ных полей подбором силы источников, каждым из которых является электромагнитная катушка, •— задача более устой чивая.
Большая устойчивость решения в задаче приближения катуш ками заданного магнитного поля объясняется тем, что поле от дельной короткой катушки, даже при наличии ферромагнитной
брони на ней, слабо влияет на распределение поля других кату шек, т. е. источники практически независимы, а поля их почти аддитивны. При наличии брони это свойство катушек неочевидно, но хорошо подтверждается экспериментально и объясняется тем, что в системах, применяемых на практике, зазоры в броне, окру жающей обмотку, малы, и поле быстро затухает вдоль оси при удалении от центра катушки.
В том случае, если электромагнитная обмотка катушек лишена брони, токи отдельных катушек совсем не зависят от поля осталь ных источников, а поле каждой катушки с равномерной по сече нию обмоткой известно в аналитическом виде. Устойчивость ре шения резко падает при очень больших градиентах приближае мого поля.
При этом решение задачи может привести к очень боль шим, не реализуемым на практике, значениям токов в от дельных катушках. Тогда задача требует регуляризации, как из ложено, например, в § 2.
При минимизации накладываются ограничения на величину токов и производных поля.
Пусть, например, имеется М небронированных цилиндриче ских катушек. Поле каждой катушки линейно зависит от плот ности тока в обмотке, которую можно изменять, так что
8 Д. Г . Власов |
113 |
Н , п (z ) = хтАт(/
где Нт (Z) — напряженность на оси поля т-го источника; хт — варьируемый параметр — плотность тока в обмотке; I — длина катушки; г и R — соответственно внутренний и внешний радиусы обмотки.
Выберем на отрезке оси OZnN + 1 точку с координатами 0, Zb Z2, . . ., ZN. Введем обозначение Апт — А т (Zn) и составим функ цию
N М 2 М
Fo (м> -И» ■• Ми) — |
Рп Hti (Zn) |
AmnxlІт?ілт |
|
|
т = 1 |
|
|
(309) |
где а — параметр регуляризации; |
Н 0 (Z) — заданное распреде |
|
ление напряженности; |
рп — весовой множитель, который позво |
|
ляет приближать напряженность поля к заданной на некоторых
участках |
значительно |
точнее, чем на |
остальных. Параметры |
хт (т = 0, |
1, 2, . . ., |
М) определяются |
из условия мини |
мума (309). Минимизация приводит к системе линейных алгебраи ческих уравнений
м
где
N N
Последняя система симметрична относительно главной диа гонали, что облегчает ее решение, которое осуществляется для последовательности значений параметра а, причем а >0. На пример, за а можно принимать числа последовательности 1/2" (п =
— 1, 2, 3, . . .). При уменьшении а допустимые значения хт воз растают. За окончательное решение принимается решение си стемы (3.10) при том наименьшем значении а, при котором соблю даются условия хт < хтах (т = 1 , 2, 3, . . ., М), где хтах— наибольшее допустимое значение тока.
Изложенный метод позволяет также приближать напряжен ность поля на оси вместе с производной. Это полезно и в тех слу чаях, когда заданное распределение поля должно выдерживаться
114