Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
при изменении тех или иных параметров поля. Последнее необ ходимо также из-за того, что поле реальных катушек неизбежно несколько отличается от оптимального поля, в связи с чем нужно знать, какие отличия и в какой области допустимы и какое из нескольких полей, отличающихся от расчетного, предпочтительно.
В процессе поиска выявлены параметры поля, сильно влияю щие на увеличение и слабо — на дисторсию (например, производ ная поля с прикатодной области). Результаты поиска позволяют и ввести при расчете катушек переменный параметр для кор рекции дисторсии. Таким пара метром является ток в спе циальной катушке, установлен ной на стыке двух камер. Как показывает расчет, меняя этот ток, можно существенно испра
вить дисторсию.
Расчет электростатических линз. Заслуживает также рас смотрения,'хотя бы очень крат кого, приложение описанных
|
выше методов к расчету чисто |
|||||
|
электростатических |
линз. |
виде |
|||
|
Представляем |
лучи в |
||||
|
(302) и накладываем требования |
|||||
|
(295), (296) и (299), где исправ |
|||||
|
лению подлежат, например, |
|||||
|
меридиональная |
кривизна и |
||||
|
изотропная |
дисторсия. |
При |
|||
|
этом из |
(295) |
и (296) мы снова |
|||
|
получаем |
систему |
линейных |
|||
|
алгебраических уравнений, по |
|||||
Рис. 38. Распределение электростати |
зволяющую |
выразить |
часть |
|||
ческого потенциала на оси |
независимых |
|
коэффициентов |
|||
|
луча через остальные. |
|
Запись (283) выражает коэффициенты аберрации изображения через производные осевого поля на катоде, т. е. через коэффи циенты поля. В конечном итоге мы получаем нелинейные алгебраи ческие формы этих коэффициентов для определения аберраций. С помощью этих форм, а также невязки параксиального уравне
ния Q, как и раньше, |
составляем и минимизируем функцио |
нал (307), где теперь 6 = |
0. Электрическое поле на оси, удовле |
творяющее всем перечисленным выше требованиям, находим в виде полинома по нечетным степеням Z (случай плоского катода), при чем можем ограничиться, например, шестью членами разложения.
Приближать полученное при расчете поле в данном случае не нужно, так как результат расчета приводит к такому распре делению потенциала, которое очень близко к полю некоторых из
124
вестных, хорошо исследованных и оптимизированных на опыте конструкций с параксиальными параметрами, близкими к рас считываемым.
Сечение электродов одной из таких конструкций (система ЗИС-1) было изображено на рис. 22. Поле на ее оси (сплошная линия) и оптимальное расчетное поле (штриховая линия) изобра жены на рис. 38. Среднее по полю разрешение в системе составляет 35 штр./мм на поле зрения диаметром 12 мм, а величина дисторсии на этом поле составляет 0,05. Приближение поля в объеме линзы можно производить функциями (290), где коэффициенты опреде ляются из условия равенства производных приближения в центре катода их расчетным значениям.
§18. Линеализация методов решения обратной задачи
В§ 15 уже было отмечено, что поиск оптимального решения 1 обратной задачи значительно упрощается, если известно исходное приближение решения, т. е. известна система электродов, поле которой обеспечивает параметры изображения, близкие к задан ным. В этом случае можно искать малые вариации потенциала на электродах, при которых уменьшается отклонение параметров изображения от заданных. Разумеется, при этом должна быть строго определена мера отклонения.
Пусть фокусирующее поле (для простоты — только электро статическое) задано системой кольцевых электродов, расположен
ных между анодом и катодом и имеющих потенциалы Vlt Ѵ2, ■■■
. . ., Ѵт. Такой системой при т —>оо любой потенциал можно приблизить в равномерной метрике, причем алгоритм приближе ния уже описан в § 16. Для дальнейшего рассмотрения форма фокусирующих электродов несущественна, и кольца выбраны нами лишь для определенности.
Обозначим через U (Z) потенциал поля на оси этой системы. Уравнения движения (191), выписанные с точностью до членов
порядка R 3, имеют |
в этом случае |
вид |
|
Z" = |
2LUM (Z) — ~ |
LU(3) (Z) R2; |
|
|
|
|
(319) |
R" = — L W \ Z ) R + |
4 “ ^ (4) (z ) K3+ ~jjr • |
||
1 Термин о п т и м а л ь н о е |
р е ш е н и е употребляется здесь в том же |
смысле, что и в § 15. Поскольку обратная задача, как правило, решения не имеет, оптимальным называется решение другой задачи, имеющей таковое, причем эта вторая задача строго поставлена и близка к исходной в строго определенном смысле. Напоминаем, что в § 15 в качестве оптимального предполагалось, например, поле, найденное по минимуму некоторой положительной функции коэффициентов поля и обеспечивающее минимальное отклонение всех пара метров изображения от заданных в определенной метрике.
125
Напоминаем, что |
штрих означает здесь |
дифференцирование |
|
по времени, а Н(г) |
= frU/dZ1. Обозначим |
через |
(т, k) и |
Z<°> (т, к) решения, |
полученные интегрированием (319) |
и зада |
ющие в параметрическом виде траекторию частицы, вылетевшей при начальных условиях
|
Z(°'(0) = 0, |
~ - Z M |
= Vo^COS'&k', |
|
|
|
|
dx |
|
t = 0 |
|
|
(ft) |
d D (0) |
|
= VQk) sin &k sincpb |
(320) |
|
(0) = R r , ~ R |
t=0 |
|||
|
|
d% |
|
|
|
|
N = Rok)v(0k) sin Uftcos <pft, |
|
|||
где углы |
и cpk имеют тот же смысл, что и в формулах |
(271). |
|||
Обозначим также через R * (Z, |
k) |
решение параксиального урав |
нения (230) в предельном случае (см. § 10) для той же точки вы
лета. Пусть |
также |
|
|
|
||
|
|
№ |
№ к\ ѵ £ \ ъ к, щ ) = я \ г , к ) - я (0)(г,к)л |
(321) |
||
где |
R (Z, |
k) — значения |
R |
вдоль траектории. |
б/ (Z), |
|
где |
Если |
потенциал U (Z) |
испытывает малое возмущение |
|||
б — малый множитель, |
то решения уравнений (319) |
также |
испытывают |
возмущение, которое мы обозначим соответственно |
|||
через RW (т) и Z0) (т),1 |
так что решения |
возмущенных |
урав |
|
нений (319) |
приобретают |
вид |
|
|
|
Z ( t ) = |
Z ( 0 ) ( t ) + Z O ) ( t ); I |
|
|
|
Я(т)= |
/?«»(т)-|-Д<1>(т). |
I |
[ ’ |
Подстановка (322) в (319), учет того, что /?(0) и Z<°> — реше ния (319) в невозмущенном случае, пренебрежение малыми вели чинами, пропорциональными бZ*1), R2R (Ч, б R d l\ б(°>3, бй?<°>2, приводят к уравнениям
Z ( i ) " - f L f / ( 3 ) Д ( 0 ) # ( і ) = 2 L 8 f ^ ]
(323)
R ^»)'+ (ш < 2> + - Ц ^ г ) Л (І) = — L6fWRW,
w r = ^ f ( Z ) ; U<» = ^ U ( Z ) .
Представив функцию / как суперпозицию возмущений потен
циалов на |
отдельных |
электродах, |
|
записываем |
|
|
||
|
f = |
С |
1и 1 + |
С2(/2 |
+ |
. . . + CmUm, |
(324) |
|
где UI (і = 1 , 2 , . . |
|
т) имеет тот |
же смысл, |
что и в формуле |
||||
(308), т. е. |
£/,■ — потенциал |
системы, когда на |
і-м |
кольце задан |
||||
потенциал, |
равный |
единице, |
а на |
остальных электродах — рав |
1 Целочисленная переменная к, означающая номер точки, из которой ис ходит траектория, пока для краткости записи опущена.
126
ный нулю. Тогда С; — возмущение на t-м кольце. Потенциалы С(- (і = 1, 2, . . ., т), вообще говоря, не малы, так как общее возмущение, выраженное суммой (324), умножено на величину 1/6.
Поскольку уравнения (323) линейны, решения Z*1) и /? (D можно представить в виде суперпозиции функций
z (1>= |
6 ( c a ? ' + |
c 2zY ' + . . . и- c mz ^ y , |
j |
|||
R n) = |
6 (Cl/?!1*4- С Л 1) + |
- • • + CmR[n\\ |
(325) |
|||
j |
||||||
MD |
1,2,..., |
m) — решения уравнений |
||||
где Z!n и RY1(t = |
||||||
Z |
dl" |
(3)D(0)n(l) |
■■ 2 L U i \ |
|
||
|
LU( |
R[ 'R |
|
|||
Rt(1)" |
L U |
( 2 ) |
3/V2 |
R?] = — W l 2)R{0\ |
(326) |
|
|
|
R( 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = 1 . 2 ....... |
m. |
Постоянные Ct (i = |
1 , 2 , . . . , |
m) можно определить, например, |
из системы линейных алгебраических уравнений относительно С(-
|
Z(°) (T0,m) + |
Z(1)(T0,m) = Z1; |
|
| |
||||
R ( 0 ) |
(Tof m _ 1) + |
R 0 ) |
(т 0і m |
- |
1) = A 4tf0; |
j |
||
|
/?(1)(т0, k ) = |
|
|
|
|
|
(327) |
|
|
~ |
A 0k{ |
) ( Z i ) , |
|
j |
|||
|
6 = 1, 2, . . ., m — 2, |
|
j |
|||||
где /?(D (t 0, ä) |
и Z(1> (t 0, &) определяются из (325), |
причем 7?<D |
||||||
и ZY) в (325) совместно с Д(,г) |
в (327) |
соответствуют начальным |
||||||
данным Rok), vok\ ^ и ф4 в (320), (321) |
и (322); т 0 — время про |
|||||||
лета параксиального луча до плоскости изображения, а Z = Z 1— |
||||||||
положение этой |
плоскости; М — увеличение. Совокупность на |
|||||||
чальных данных — начальное |
значение |
радиуса |
и все проекции |
|||||
начальной скорости — назовем |
в е к т о р о м |
н а ч а л ь н ы х |
||||||
д а н н ы х . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (327) позволяет нам выбрать возмущение на отдельных электродах 6С; так, чтобы «исправить» в желательном направлении параксиальные параметры Z x и М, а также добиться отсутствия аберраций для конечного множества лучей, выбранных в соответ ствии со спецификой задачи. При небольшом количестве электро дов, управляющих изображением, система (327) выполнима лишь в среднеквадратичном смысле, т. е. постоянные Сг поддаются
определению уже рассмотренным |
выше методом — из условия |
||
минимума квадратичной |
формы |
|
|
Л = £ |
РА<4 (Си С2, . . . , С т), |
(328) |
|
Р |
|
|
|
где а р — невязка p -то уравнения |
системы (327), |
а Рр— весовая |
функция, позволяющая регулировать точность исправления от дельных ошибок.
127
Рассуждения, приведенные выше, справедливы лишь в том случае, если параметры изображения, полученные в исходной системе, очень мало отличаются от заданных. Вообще же говоря, возможен процесс последовательных приближений, позволяющий перейти от исходной фокусирующей системы, сильно отличающейся от оптимальной, к оптимальной системе1, т. е. к системе, миними зирующей форму (328), где все векторы начальных данных и все весовые функции заданы. Для этого достаточно вначале задать параксиальные параметры, мало отличающиеся от исходных,
атакже задать малую область исправления ошибок вблизи оси,
азатем, перейдя таким образом к новой, улучшенной, системе, принять ее за исходное приближение и повторить весь цикл. Этот процесс эквивалентен поиску локального минимума, когда функция (307) заменена некоторой квадратичной функцией вблизи исходной точки.
Разумеется, нельзя считать оптимальную систему наилучшей из систем, удовлетворяющих заданным требованиям, так как результат поиска целиком определяется исходным приближением и критериями качества изображения, например выбором весовых функций при отдельных ошибках, количеством точек, по которым вычисляется средняя ошибка, и т. д.
§ 19. Ч астн ы е виды |
ф о к у с и р у ю щ и х п ол ей |
и прим еры и х |
р е а л и за ц и и |
В некоторых практически важных случаях решение обратной задачи существует и заранее известно, причем известно либо точно, либо, по меньшей мере, с хорошей степенью приближения. Например, если фокусировка в эмиссионной системе производится электрическим и магнитным полями одновременно, а потенциалы электростатического поля U (г, г) и магнитостатического поля Ф (г, г) удовлетворяют условию
W = k ѴФ, |
(329) |
где k — постоянная, то электрон, имевший при эмиссии ско рость, равную нулю, будет двигаться в начале траектории вдоль электрических и магнитных силовых линий, которые в данном слу чае всюду совпадают по направлению.
Разброс начальных скоростей по величине и направлению приводит к траекториям, которые вблизи катода имеют вид спи рали, навитой на силовую линию. В этом нетрудно убедиться, заменив потенциалы в узкой прикатодной области линейными функциями (случай однородных полей) и проинтегрировав урав
нения движения, |
которые в этом случае имеют точное решение. |
|
Радиус спирали |
обратно пропорционален величине |
магнитной1 |
1 Термин о п т и м а л ь н ы й употреблен в прежнем смысле; |
см. сноску |
|
в начале этого параграфа. |
|
128