Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

в этом случае могут разойтись. В связи с успехами, достигнутыми машинной техникой в последнее время, для решения таких задач развиваются особые методы моделирования, например метод «больших частиц» (см. § 22). Эти методы позволяют не только моделировать быстрые процессы установления потока и вычислять его оптические характеристики, но в какой-то мере и решать за­ дачу автоматического управления потоком, т. е. рассчитывать некоторые характеристики обратной связи потока с краевыми усло­ виями.

Ниже такие алгоритмы также будут рассмотрены, равно как и область их применимости. Следует отметить, что при выборе метода вычисления нужно учитывать и его экономическую целе­ сообразность, т. е. количество машинного времени, затрачивае­ мого для получения требуемой точности.

Движение электрона в произвольном электромагнитном поле при наличии пространственного заряда описывается системой уравнений [29, 55]

= г) (—esjU -j- VX В ); AU = —4лр; U\S = F, (359)

где по-прежнему ѵ — вектор скорости частицы; В — вектор магнитной индукции; т] = е/т (е и т — заряд и масса частицы); р — плотность пространственного заряда; S — поверхность элек­ тродов.

М е т о д о г и б а ю щ и х .Грубую оценку плотности р, которая мо­ жет быть использована при приближенном решении (359), дает метод огибающих. Его применяют [62, 26] для расчета формы тонких пучков с относительно слабым током и в качестве первого приближения при расчете электромагнитной гидродинамической модели таких пучков.

Этот метод рассматривает лишь движение частиц, расположен­ ных во входном зрачке на границе сечения пучка. При вычислении их траекторий учитывают как поле внешних источников, так и поле самого пучка, но обычно пренебрегают перераспределением плот­ ности заряда внутри пучка в процессе движения. Вычисленную таким образом траекторию пограничной частицы и считают оги­

ваемые методы электромагнитной гидродинамики. Полученные значения р позволяют более точно рассчитать распределение за­ рядов в стационарных и ламинарных потоках, а в случае элек­ тронно-оптических расчетов — значительно точнее, чем посред­ ством описанных выше методов, приблизить правые части урав­

нений (359).

Методы электромагнитной гидродинамики используются только тогда, когда поток электронов можно считать состоящим

139

из ламинарных потоков, т. е. из потоков, в каждом из которых скорость — однозначная функция положения точки.

Ламинарный поток ведет себя аналогично жидкости, и для него, как и в обычной гидродинамике, можно ввести векторное

а также то, что мы рассматриваем стационарные потоки, выводим из уравнения (359)

где АU = —4лр.

Это уравнение по аналогии с уравнением движения стационар­

обходимо добавить закон сохранения заряда в элементарном объеме

В случае нескольких парциальных ламинарных потоков си­ стему (361)—(362) решают для каждого из них.

Однако в электронно-оптических расчетах поток нельзя пред­ полагать ламинарным. Пересекающиеся траектории потока можно рассчитывать, рассматривая во втором приближении (359) как уравнение движения частицы, проходящей через фиксированную начальную точку и движущейся в поле, определяемом как крае­ выми условиями, так и плотностью заряда р. Последнюю опреде­ ляют, решая уравнения (361) и (362).

Для стационарных неламинарных потоков (электронно-опти­ ческий случай) в ряде работ (например [28, 29]) предложен авто­ матизированный на ЭВМ итерационный процесс решения урав­ нений (359). Эти уравнения рассматриваются как уравнения движения точечных частиц. В нулевом приближении первое из уравнений (359) решают, выбирая за функцию r | z| (для примера приводим осесимметричный случай) соответствующую траекторию частицы в поле потенциала, удовлетворяющего уравнению Лапласа.

В новом приближении поле потенциала находят по плотности численным интегрированием уравнения Пуассона, т. е. второго из уравнений (359), а поле пространственного заряда определяют

140

моделированием физического процесса. Для этого заряд, сосре­ доточенный в произвольной подобласти, рассматривают как созда­ ваемый непрерывным движением электронов, т. е. равный сумме зарядов всех электронов на отрезках траекторий, проходящих через данную подобласть. В качестве примера автоматизации

проносимый в единицу времени через площадку постоянных t меры da (мера на множестве траекторий наводит меру на мно­ жестве площадок постоянных t). В частности, если в качестве меры da взять площадь поверхности вылета электронов, пред­ ставляющих собой диск с постоянным г, то формула (363) запи­ шется в виде

где A (D ) —■множество точек r0, из которых вылетают электроны, приходящие в D. При этом плотность заряда является пределом отношения

р = lim q (D) raes D ’

когда область D стягивается в точку.

Разностный аналог модели (363) запишется в виде

Уравнение Пуассона в цилиндрических координатах, записан­ ное в дивергентной форме, аппроксимируется на неравномерной сетке разделенными разностями.

141

Поэтому при точном оптическом расчете (при оценке разрешения или при построении частотно-контрастной характеристики) в рас­ смотренном нами выше итерационном процессе необходимо при­ ближать поле аналитическими функциями, например полем физи­ ческих зарядов, непрерывно распределенных на электродах и достаточно гладко распределенных в рабочем пространстве линзы. Действительно, аберрации определяются высокими производными лол я.

В связи с этим задание системы зарядов в узлах сетки (ко­ нечно-разностная аппроксимация), особенно вблизи катода, может привести к необратимым изменениям оптических свойств изобра­ жения, хотя при достаточно большом числе траекторий общая форма пучка сохранится. Приближение потенциала в виде глад­ ких функций осуществляют в оптических расчетах следующим образом.

Электростатический потенциал является решением уравнения Пуассона, т. е. второго из уравнений (359) в области Ö, ограни­ ченной поверхностью 5. На поверхности задана непрерывная функция F (s), где s — точка на 5. На каждом шаге итерацион­ ного процесса задана непрерывная функция р (М), где М — точка в Q.

где dv — элемент объема; \М—М ' | — расстояние между точкой

наблюдения М' и точкой интегрирования М; pN (М) — аналити­ ческая функция, приближающая р (М) по известным значениям

Функция U2 (s) приближается гармоническими функциями способом, рассмотренным в § 1.

142