Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

Тогда U (М ) представляет собой точное значение потенциала некой системы зарядов, непрерывно распределенной на электро­ дах и в пространстве и в то же время являющейся приближенной

Такой процесс приближения позволяет вычислять производ­ ные функции U (М ) и обеспечивает приближение и устойчивость оптических параметров изображения при условии отличной от нуля начальной скорости электронов.

Высокая точность достигается при сравнительно крупном шаге сетки, в узлах которой вычисляется функция р (М).

Пусть UiN) (М) — гармоническое приближение функции U 2 (М). Легко показать (частично этот вопрос обсуждался в § 13),

что Ui (М) и рдг (М) надо выбрать с такой степенью гладкости, чтобы ошибки изображения можно было вычислять по аберра­ ционным формулам, приведенным в § 13 и 14. Такой возможности не допускает конечно-разностная аппроксимация пространствен­ ной плотности и потенциала.

§ 2 2 . Р еш ен и е са м о со гл а со в а н н о й за д а ч и в н естац и он ар н о м с л у ч а е

Вычисление функции распределения. Второй способ задания пространственной плотности заряда в виде дифференцируемой функции сводится к выражению плотности заряда через / (г, ѵ, І) — функцию распределения электронов по скоростям. Это — весьма общий и эффективный способ, пригодный и в нестационарном случае.

Закон сохранения энергии, записанный для элементарного объема, приводит .к дифференциальному уравнению .относи­ тельно функции распределения — уравнению Власова (см., на­ пример 13])

где V — скорость частицы.

1 Конечно, разностная аппроксимация плотности заряда эквивалентна ин­ тегрированию уравнений движения электрона в поле «больших частиц», заряд каждой из которых имеет, как нетрудно вывести, величину порядка q — jh3lv, где j — плотность тока; h — шаг сетки; ѵ — скорость частицы. При большой плотности тока требуется сильно дробить шаг сетки, иначе процесс вычисления траекторий потеряет устойчивость. Поэтому желательно непрерывное распре­ деление плотности заряда в пространстве.

143

При выводе этого уравнения энергией столкновения частиц пренебрегают, т. е. плотность частиц считают достаточно малой. Чтобы определить вектор поля Е, уравнение (370) решают со­ вместно с уравнением Пуассона

Здесь интегрирование ведут по всему объему в пространстве ско­ ростей.

Однако функция распределения электронов по скоростям в координатно-временном пространстве описывает лишь общую форму пучка и его термодинамические параметры. Чтобы опреде­ лить оптические свойства электронно-оптической системы, можно

(370)—(372) найти распределение на экране.

Но интегрирование уравнений (370)—(372) в этом случае яв­ ляется трудно выполнимой задачей, так как требует большого объема вычислений слабых и частых осцилляций плотности элек­ тронов как функции координат (оптические характеристики тре­ буют разрешения десятков пар черно-белых штрихов на 1 мм при контрасте на экране 0,2). Часто электронный поток удается раз­ бить на тонкие пучки (трубки тока). Для каждого из тонких пучков вдали от катода, когда справедливы предположения, сделанные при применении метода огибающих (см. § 20), уравнение (370), решаемое совместно с уравнениями движения, позволяет вы­

Если, как это делается в методе огибающих, для тонкой трубки тока и вдали от катода пренебречь разбросом продольных скоро­ стей частиц и зависимостью продольной скорости от радиальной координаты, то из (373) следует уравнение df/dz = 0, которое рас­ сматривается как задача Коши при известном распределении фазо­ вой плотности на катоде. Решая эту задачу совместно с уравне­ ниями движения и уравнением (372), можно записать систему уравнений для всех тонких пучков, позволяющую приближенно определить плотность заряда р и плотность тока /, посредством

которых более точно решают уравнения движения в последующих итерациях.

1 Метод вычисления фазовой плотности, упомянутый здесь кратко ввиду небольшого объема книги, подробно изложен в работе [34].

144

Метод «больших частиц». Для решения нестационарной за­ дачи в оптическом приближении можно использовать метод «боль­ ших частиц» [79]; он пригоден также лишь для малых плотностей потока, при которых энергией столкновений частиц можно пре­ небречь. Таким образом, предполагается, что дальние взаимодей­ ствия существенно больше ближних и в течение некоторого ха­ рактеристического времени At частицы внутри объема А У ведут себя как одно целое. Уравнения движения такого объема экви­ валентны уравнениям движения одной частицы, т. е. первому из уравнений (359), и имеют вид

чество (N) физических частиц. Каждый такой объем рассматри­ вают как большую частицу, а поле пространственного заряда заменяют суммарным полем больших частиц. Электростатиче­ ский потенциал U в начальный момент времени t0 определяют, решая уравнение Пуассона по известному для этого момента вре­ мени распределению плотности р и по известным граничным усло­ виям. Интегрируя систему уравнений типа (374) для всех боль­ ших частиц, находят их положение и скорость в момент времени

/ = t0 -j- Аt.

Распределение плотности больших частиц позволяет найти новое распределение плотности заряда р (х, t0 + At), после чего весь цикл решения уравнения (374) повторяют.

Использование метода больших частиц для расчета свойств эмиссионных систем отличается рядом характерных особенностей. Поскольку эмиссия физических частиц с катода происходит по за­ конам физической статистики и описывается определенными функ­ циями распределения частиц по углам и энергиям, то нормировка этих функций определяется величиной среднего по времени ка­ тодного тока с данного элемента площади эмиттера. Эти статисти­ ческие законы полностью переносятся и на большие частицы и учитываются при задании начальных условий движения в урав­ нении (374).

Пусть за характеристическое время А / с катода срывается N фи­ зических частиц (одна большая частица), направление, величина скорости, а также точка вылета которых (которой) определяются

статистически. Большой частицей будем в данном случае назы­ вать совокупность М точечных частиц, расположенных равно­ мерно на окружности радиусом г и, вообще говоря, не являющихся физическими частицами. Иначе говоря, в качестве элементарного

Все параметры, характеризующие каждую частицу из большой частицы, снабдим двумя индексами і и /, первый из которых означает номер кольца (большой частицы), а второй — номер частицы в этом кольце. Как уже было оговорено, взаимодействием внутри большой частицы пренебрежем. Чтобы учесть неравномер­ ность временного интервала, через который происходит вылет большой частицы, введем параметр неравномерности у, выбирае­ мый случайным образом по равномерному закону распределения с нормировкой на единицу. Время вылета і-й большой частицы

аскорость ее вылета находим случайным образом в соответствии

сизвестной функцией распределения.

Обозначим, как уже было рассмотрено в § 8, угол между на­ правлением скорости вылета и нормалью к катоду, через О, а угол между проекцией скорости на плоскость катода и радиусом, при­ веденным в точку вылета, через <р.

Закон распределения вылетающих частиц по направлениям еф

условиях. Выбираем их для каждой большой частицы следующим образом.

Допустим, нужно определить начальные значения условного параметра движения х с интервалом изменения (0, хт). Параметр может принимать случайные начальные значения х0 в соответ­

146

ствии с нормированным законом распределения f (х). Весь интер­ вал (0, хт) разбиваем на равные промежутки. В каждом из них

выбираем п*. равноотстоящих точек (значений параметра х[к\ хік\ ■. •, xhk), где k — номер промежутка). Числа nk пропорцио­ нальны величинам / (х[к)), где хІк) — средняя точка k-ro проме­ жутка.

После этого, считая вероятность попадания в каждую из точек на промежутке (0, хт ) одинаковой, по стандартной программе выбираем номер точки и соответствующее ей начальное значение параметра лу.

Чтобы упростить изложение методики решения при интегри­ ровании уравнения движения, ограничимся рассмотрением только электростатического поля.

Для вычисления потенциала в правых частях уравнений (182)—(184) используем представление U в виде (365). В данном случае Uг (г, z) — потенциал системы больших частиц, находя­ щихся к моменту времени t в рассматриваемой области Q. Для

где / (/) — число больших частиц, находящихся к моменту вре­ мени t в рабочем объеме электронно-оптической системы; 6(- — оператор уничтожения і-й большой частицы.

Примем, что рабочая область электронно-оптической системы ограничена некоторой поверхностью вращения 5, заданной урав­ нениями

нения Лапласа при граничных условиях (367). В данном случае мы считаем, что граничные условия зависят от времени как в силу

Через Uu обозначим потенциал объемного заряда на поверх­ ности 5 в тот момент, когда в систему входит і-я большая частица,

через F\s) — потенциал сторонних источников на границе в тот же