Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

Чтобы решить уравнение Лапласа при граничных условиях (382), воспользуемся методом решения уравнения Лапласа для произвольного тела вращения, рассмотренным в § 1. Для большин­ ства электронных линз вспомогательную область можно выбрать в виде цилиндра G радиусом R 0, основания которого совпадают

изложенному в § 1, выбираем такой, чтобы на поверхности элек­ тродов, т. е. на границе области Q, приблизить функцию F (s) — потенциал при отсутствии объемного заряда. Функция F 2 (s') является потенциалом поля больших частиц на поверхности цилиндра G.

Таким образом, потенциал Uu определяем по формуле (17), где коэффициенты ф*ѵ) (ѵ = 0, 1, 2) вычисляем как коэффициенты

Фурье—Бесселя в разложении потенциала Uu\ на боковой по­ верхности цилиндра или на его основаниях.

После того, как будут определены положения больших частиц в рабочем объеме электронно-оптической системы к некоторому моменту времени Т, можно найти распределение потенциала в этом объеме U = U (г, г), а затем с помощью уравнений (374) вычислить траектории небольшого числа физических частиц и тем самым посмотреть, как влияет объемный заряд на характер траекторий.

.Заметим, однако, что с возрастанием плотности катодного тока, а соответственно, и заряда большой частицы, движение каждой из них в поле других частиц становится неустойчивым по отно­ шению к изменению начальных параметров.

Эта неустойчивость, как и следовало ожидать, особенно сильно сказывается вблизи эмиттера и кроссовера. При плотности тока, превышающей некую критическую, траектории большей части частиц испытывают настолько сильные возмущения, что выходят

при аппроксимации его полем точечных центров. При такой плот­

и г (M') (M' G ß) записывается в виде (366), где рд, (х) (х G й) — гладкая функция, построенная по вычисленной на предыдущем шаге интегрирования плотности больших частиц.

148

Один из возможных способов построения такой функции со­ стоит в том, что область Q разбивают сеткой по координатам z и г на N 2 ячеек, после чего на каждом шаге интегрирования уравнений (374) ведут подсчет больших частиц в каждой из ячеек. Значения плотности для фиксированного момента времени обозна­ чают как

Рис. 45. Траектории, вычисленные в электронной линзе методом «больших частиц»

Штриховые линии — с учетом взаимодействия зарядов; сплошные линии — без учета взаимодействия зарядов

Тогда рдг (z, rk) можно записать в форме Лагранжа в виде полинома

P kN{z) =

149

Проиллюстрируем метод численным примером, имеющим и практическое значение. На рис. 45 приведены траектории ча­ стиц в электростатической линзе, уже рассмотренной в § 17. Плотность тока j = 5 мА/см2; траектории вычислены мето­ дом «больших частиц», как с учетом объемного заряда, так и без его учета. Изменения оптических параметров изображения пред­ ставлены на рис. 46.

Рис. 46. Изменения оптических параметров в линзе: а — увеличение; б — разрешение

Метод «больших частиц» открывает новые возможности и для решения обратной самосогласованной и нестационарной задачи электронной оптики, относящейся к формированию заряженных потоков заданной формы и к управлению ими.

Рассмотрим один из возможных методов решения такой задачи, использующий уже известный нам алгоритм вычисления траек­

Искомое внешнее поле задаем распределением зарядов на бо­ ковой поверхности цилиндра, ограничивающего рабочий объем системы. Для простоты считаем заряды точечными и обозначаем их через \ ь где k = 1, 2, 3, . . ., М. Координаты зарядов считаем заданными, а их величины — неизвестными. Не меняя алгоритма по существу, задаем искомое поле также в виде некоторого разло­ жения потенциала на боковой поверхности S того же цилиндра. Разложение осуществим по ортонормированной системе функций, полной в С (S).

Вэтом случае подлежат отысканию коэффициенты разложения.

Вобщем случае искомые параметры, например величины заря­ дов \ k, являются функциями времени.

150

В начальный момент времени t = t0 задаем произвольный набор параметров, определяющих поле, например |{0) = £о0) =

= • • =?л0) = 0. (Разумеется, если поле, обеспечивающее за­ данную форму пучка, приближенно известно, то его целесообразно принять за начальное распределение.) По описанной выше про­ грамме в соответствии с заданным законом распределения выби­ раем случайные начальные параметры вылетающей частицы и проводим один шаг интегрирования ее уравнений движения (182)—(184). При этом вычисляем кинетические энергии движений, касательного и нормального к заданной траектории rx (r0, v 0, z),

Положительную функцию Тп минимизируем по параметрам одним из известных способов глобального поиска минимума

(см., например, [20]). Минимизирующие значения параметров определяют поле в момент времени

После этого определяем начальные параметры второй «боль­ шой частицы», интегрируем уравнения (182)—(184) для двух

где ѵ„' — нормальная к заданной траектории скорость второй частицы в момент времени t + 2At.

Поле в этот момент времени определяем минимизацией урав­ нения (392), после чего находим начальные параметры следующей частицы и повторяем процесс. Вообще

151