Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

где Uik {%пт, Ци) — собственные функции; Хпт— собственные значения уравнения (65), рассматриваемого как смешанная крае­ вая задача с условиями на границе Q, типа

Как видно из (66), уравнение, обеспечивающее выполнение гра­ ничных условий на поверхности S ik, определяемой уравнением qk — СI, приводит к условию

которое сводится к разложению Fr (qk) в ряд по полной ортонор­

Такое разложение позволяет определить ani.

Полином Qip выбирают таким, чтобы на кантах поверхностей, разделяющих подобласти, выполнялось равенство

что обеспечивает равномерную сходимость разложения (70). Коэффициенты СІГ определяются из условий сшивания нор­ мальных производных dUildn на участках разрыва границы S t. Как показано в приложении 3 (см. также литературу, приве­ денную там), такой процесс сшивания можно свести к регуляр­ ным системам линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Сіг, что позволяет решить задачу в замкнутом виде.

32

Если координата ^ задана в Й на интервале (а,-, bt), где і — 1, 2, . . N , то метод может быть распространен и на случай bt —>оо. Разложения в ряд переходят при этом в интегральные разложения обычным образом, а спектр разложения становится непрерывным.

Рассмотрим применение метода на примере, типичном для элек­ тронной оптики.

Наши рассуждения относятся к линзе, представляющей в кон­ структивном отношении систему металлических электродов в виде плоскостей, перпендикулярных к оптической оси, с круговыми отверстиями, центры которых находятся на оси, и цилиндрических поверхностей, оси которых совпадают с оптической осью. Задача состоит в отыскании функции, удовлетворяющей уравнению Ла­ пласа внутри области, ограниченной электродами и принимающей заданные значения на них.

Разобьем все пространство на ячейки в виде сплошных или полых цилиндров. Разбиение осуществим, во-первых, семейством плоскостей, перпендикулярных к оси и проходящих через гранич­ ные окружности цилиндрических электродов и через плоские электроды, и, во-вторых, семейством цилиндрических поверхно­ стей с радиусами, равными радиусам круговых отверстий в плос­ ких электродах и радиусам цилиндрических электродов.

Построим затем для каждой ячейки решение уравнения Ла­ пласа, удовлетворяющее граничным условиям на части поверх­ ности ячейки, образованной электродами. И, наконец, наложим условия непрерывности потенциала и производной от потенциала по нормали на остальной поверхности. В итоге мы получим реше­ ние для всей интересующей нас области.

Таким образом, решение нашей задачи сводится к решению задачи Дирихле для цилиндра. При решении последней целесо­

где п — целое число, а величина а 0т— корень уравнения

Первое из решений (74) исчезает на основаниях, второе — на боковой поверхности цилиндра.

Легко убедиться, что выражение

при условии двукратной почленной дифференцируемости рядов представляет собой решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее

т= 1

со

Ѵ(г, 20) = Ъ dmJü(aümr).

т = 1

Первый ряд — это обычный ряд Фурье, коэффициенты кото­ рого вычисляются по формуле

Zo

два остальных ряда — ряды Фурье—Бесселя, коэффициенты кото­ рых вычисляются по формуле

аа)І

Относительно рядов предположим лишь то, что они сходятся к пред­ ставляемым функциям.

34

Приравняв данные граничные значения к полученным из вы­ ражения (76), найдем, что искомое решение задачи Дирихле имеет вид

СО

Легко убедиться, что внутри цилиндра функция (80) является аналитической.

Рассмотрим теперь полый цилиндр, ограниченный поверхно­ стями z = 0, г = z0, г = а и г = Ь, причем Ъ > а.

Отправляясь снова от интеграла (73), построим решение

U(r,

Л=1

причем коэффициенты ст и dm вычисляются теперь по формулам

I V (г, г0) Г 0 (lmr) г dr

dm—

и сравнив ряды (84) с получающимися из выражения (81) при пере­ ходе на поверхность, убедимся, что выражением (81) можно удовлетворить любое условие задачи Дирихле.

Решения уравнений Лапласа (80) и (81) можно несколько обобщить, добавив к ним сумму гармонических полиномов

Распорядившись соответствующим образом коэффициентами этих полиномов, можно усилить сходимость рядов и добиться почленной дифференцируемости их на поверхности цилиндра, что имеет значение, например, при наложении условия непрерывности производной от потенциала по нормали к поверхности раздела двух примыкающих друг к другу ячеек.

§ 4. Метод связанных интегральных уравнений

Рассмотрим другой метод расчета электронных линз, ограни­ ченных электродами правильной формы. Пусть нужно найти реше­ ние задачи Дирихле в пространстве R 3, содержащем заряженные поверхности, удовлетворяющие тем же, что и выше, требованиям, а именно: 1) каждая из них представляет собой часть координатной поверхности, принадлежащей некоторой ортогональной системе координат; 2) переменные в уравнении Лапласа в этой системе координат разделяются.

Как будет показано ниже, этот метод тоже дает решение задачи в замкнутом виде. Одной из отличительных черт рассматривае­ мого метода является та, что решение записывается в форме,

36