Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 113

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пусть имеется таблица экспериментальных данных и выбран общий вид функции

с . . . )

,

 

зависящий от нескольких параметров

а , é

%с , . . .

Эти параметры и надо подобрать по

способу

наимены к

кіадратов.

 

 

Согласие принципу наименьших квадратов меяго записать условие

Найдем значения

а

, 6

, с

.

обращающие левую

часть равенства

в т і п

,

для

чего возьмем частные про­

изводные по

а

, ё

, с

, . . . ,

приравняем их к нулю и в

результате

получим

систему уравнений

Решая эту систему, найдем неизвестные параметры. Пример. Пусть

» "Э о“ Х ’

д ё

'

Таким образом,

гг

ю з

L t r ( Q* V ^ ] = ö -

 

Решая данную систему, найдем а

и ё .

Для зависимых случайных величин,

как известно,коэф­

фициент корреляции является мерой линейной связи меаду ними. Таким образом, коэффициент корреляции показывает, насколько хорошо в среднем одна случайная величина может быть представлена в виде линейной функции от другой.

Представим случайную величину

У в виде

суммы не­

которой линейной функции от X

и остатиа

Z •

У = * ( Х )+ і = ( А Х + б )+ 2 .

 

 

Будем рассматривать

 

 

 

2 = У - * ( Х )

 

 

 

как ошибку приблиаения случайной величины

У

линейной

функцией

 

 

 

* ( X ) = A X + ß .

Найдем параметры линейной зависимости в соответст­ вии с принципом наименьших квадратов. Для этого потре­ буем, чтобы дисперсия ошибки линейного ариилишеніи бшм. минимальной,

1Л\%г] = т г п .

Запишем искомую линейную Функцию в виде

t ( X ) = A ( X - a ) + ë +C .

Тогда

і-С2- 2 А /И ( Х - л )(У- Ъ) - 2 С К ß - ë ) - 2 A C M (X - л ) ,

1 0 4

H O

» l ( X - a ) - M ( y - é ) = 0 -

Так как

а и € - центры распределения соответствующих слу­ чайных величин,

М ( У - 6 ) ( Х - а ) = ?Х}у Зх ^

и тогда

м [ г г] . б ^ А гв * + с 2- 2 А ^ е . а % ■

 

?

G

2

:

Прибавим и ожииыеы

? .

?

М I*'2] =

 

 

 

^ )

#*«Ма м ш и ,

 

 

деетигает наименьшего зна­

чения яр«

 

 

 

 

A e ^ ^ , f 3 f

°

 

 

С = д

 

 

 

Таким образом, лкяейная функции наилучшего средне-

кмдратмеаиегѳ чриблкяеенил есть

S ( X ) . ? Xb. / £ ( X - * ) ' i ■

График этой .функции - так маммемея прямая среднекеадратичесяой регрессии У на X ■

Уравнение ярлыоК ередиеквадратической регрессіи можно записать и в виде

(А ~&) -

Аналогично может бить зависала п уравнение средне- к^адратической регрессия X на У •

105

Графики этих уравнений показаны на р и с.15.

§18. Применение метода т м м т квадратов для обработки за­

висимых измерений

Одним из основных условий применения метода наимень­ ших квадратов является независимость результатов измерен ний друг от друга. Однако на практике часто встречается необходимость обработки наблюдений, содержащих одинако­ вые погрешности (например, вычисление координат опре­ деляемых пунктов с учетом погрешности в координатах исходных пунктов; определение места в море при наличии случайных и повторяющихся ошибок линий положения и

т .п .) . Вернемся еще раз

к

рассмотрению основных теоре­

тических положений метода

наименьших

квадратов.

Обозначим через

,

х г

, . . . ,

неизвестные. Так

же, как и раньше,

можно

записать

 

» Х2 т ” “>х п)~У-г~^ •

IOfi

Здесь ^

-

известная

функция определяемых неизвест­

f a

 

ных }

 

 

-

измеряемая

величина;

? * Г,2 , 3 , . .. ,

г ,

N -

количество измерений.

Будем считать,

что

вид

линейный. Тогда

П'

у = У а

V

.jCs .

cf?

L*

 

}

Обозначим через

/ =/

результат измерения,

 

 

 

 

Т&

+ Д ~ -

 

 

 

Z

Перепишем наши уравнения в виде одностолбцовых мат­

риц:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у.

У

= у

 

=

ч,

іѴ,

I- *■

у

 

 

 

 

У* Через £ обозначим матрицу результатов измерений,

іѵ.

Через £ обозначим матрицу уравненных значений ре­ зультатов измерений:

 

т£,

I

5

=

 

. Л ,

через Л - матрицу

ошибок ивмерекий:

107

 

 

 

 

â = д

=

 

 

•>

 

 

 

 

 

 

N,

 

 

 

 

через

Л’

-

матрицу неи»вестиых,

найденных по методу

наименьших

квадратов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

X ,

“

 

 

 

 

 

 

X

=

X ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X ,

 

 

 

где

п -

число

неизвестных.

 

 

 

Матрицу коэффициентов уравнений погрешностей ебс-

значим через

А

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А - А»

Л а у і

•

 

 

Основные

уравнения

теперь запишутся в следупцем виде

 

 

 

 

У = А Х

і

 

 

(2.24)

С учетом

последних

 

 

*

 

 

двух равенств можно записать:

 

 

 

 

A X - L = - A .

 

(2.25)

Предписание метода наименьших квадратов требует вы­

бора

матрицы X

таким образом,

чтобы

 

 

 

 

 

[ p v - ts ]

- m i n .

 

Обозначим через Zr=AX-L

> где

- матрица версят

яейших поправок к результатам измсреииі (под вероятнейвей поправкой как л раньше будем понимать значение по­ правок соответствующих m a x плотности вероятности).

топ

Смотрите также файлы