Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 110

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ І б . Уравнивание с условны м и уравнениями

Пусть в результате измерений получены три значения трех углов треугольника. В этом случае одно измерение будет избыточным, так как сумму углов связывает уело-

вие

х т я + л,

= 180°,

где

х ;

-

истинное

значение

угла.

 

 

 

 

L2

 

L3

 

 

Если обозначить

через

^

,

,

результаты из­

мерения,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L, + t 2 *

 

480*+ -и* 9

 

 

 

где и /

- разность

между

суммой углов и

ІЭ0°,

образо­

вавшаяся за счет ошибок измерений. В задачу уравнивания

входит

отыскание таких поправок v-t ,

-с£ ,

к ре­

зультатам

измерений, которые обратили

бы величину си-

в ноль,

то

есть

 

 

 

 

і/ ' + </2 т tf3 + си-= О .

 

 

Это

уравнение называется условным уравнением попра­

вок. В

данном случае одно избыточное

измерение

привело

к образованию одного условного уравнения. Таким образом,

если

сделано п

измерений, а число независимых

условий

равно

т

, то

это

значит, что было произведено

г

из­

быточных измерений.

Обозначим через x t

, х 2

,

 

 

уравненные

значения

неизвестных,

через

£ ,

Л2

 

 

 

результаты измерений.

 

 

 

 

 

Пусть из теоретических соображений известно

т

со­

отношений вида

 

 

 

 

 

 

 

і №! •>л% ? • • • ?

^—^ 7

і у2

 

 

 

.

7

Q7

Подставим вместо х -

£ • и тогда получим

 

СГ

&

 

7^2 V

• »

 

fi (£itC/t 1^2f

°n)~0 ‘

(2.22)

Разложим (2.22) в ряд Тейлора и граничимся первыми членами разложения. Вычтем из полученного ряда соот­ ношение (2 .22):

%

м .

+ M l

и£- = О

 

Ч т

dLn

г

 

 

 

 

 

і жI j 2j 3 , . . . j Т

Таких

равенств

будет г .

Обозначим:

дА

 

ЭІ,

’

_

s

dl,

6/ ’

•

•

іи

Гч

э/.

 

“ *

’

вА,

, .

д12 ~ а^

діп ~

* ’

dl2 -

6f

“

 

^А2 _

£ .

’

 

" ’

ЭЛ _

r

 

' ’

■df*. = 1п

dlZ ~

2 ’ * '

UBfыг-*

 

С учетом этих обозначений

а, ^

а2 ^

* • • + <*пЧг + “ ) =0

1

5

^

• • • + * п * я +

’

 

 

*

 

98

Умножим систему на

—2 к{

-2 к г

-2 к 7

Выполнив умножение, получим:

- г к, (a,ts, + а2о2 +

• •

- + а п ^ t u A ^ O ;

- 2 k 2(é l t/l i-

*

•+ én Vn i-u/2)= 0 j

- Z k z ( i , ^ - i 2 ts2 + ••

- + W

« £ ) « 0 ;

 

 

 

 

T C/

 

= m in .

 

 

 

 

гг

 

 

Сложим все полученные уравнения и найдем минимум от

суммы по V-, • ■■<sn :

 

 

 

 

 

 

Ж ,

■■2(/l - Z alkr

2 é l k2----------2 к 27 = о ;

Q.J.

2tS2 2 аг к, ~ 2 ё 2 кг

‘ - 2 к 2 7г О ;

а г

= 2<sn - 2 a n к -2

---------- 2 А 7 7 ^ = 0 .

-

діл

 

 

 

 

 

 

 

Итак мы получили

п

уравнений

с

п неизвестными.

Последнюю систему

перепишем таким образом:

 

 

 

 

«/

 

 

 

 

 

+ 7г кг

аг

 

*г

7г

 

 

* ~*пк2

ап

 

€я

 

99

Произведем умножение, как показано,

и сложим по

столбцам. В результате получим:

 

[аіл]=А( [aa]f aé] +-

• * + кг [<**]

 

[&/] =к, [а£\ + кг [ Щ + •

• • + к7 [ fa ] ;

(? .23)

Н = kt [а?] + к2 [£?] + ■ * * + к7 [7 7 ] •

^

Подставим полученные равенства в уравнения поправок:

к, \jaofj +

кг

[а^] + • • •+ [az] + tA = £7 ;

kf

 

_aé']+ /ср (/»] + • ' • + кг [/?] + а/г= О )

к\оп}+

кг [£*]і~ • • + к7[ 77]+ о/?= 0 .

Эта система уравнений называется системой нормаль­ ных уравнений коррелят, а система (2.23) - уравнением коррелят. Неопределенные множители kt $ к г , . . . , к 7

называются коррелятами.

Реная систему нормальных уравнений, найдем корреляты,

подставив которые

в (2 .23),

получим искомые

поправки.

Поправками

, . . . ,

необходимо

исправить

результаты измерений и получить уравненные значения не­

известных.

 

 

 

 

£ =

Ппчеп.

В

треугольнике

измерены три угла

43° 15»

17%

1 2 = 78? 43*

50%

13 =58° 01»

05".Най­

дем л,

, х г

,

х 3 . Составив условное уравнение:

L+ L2 fL 3 ~ і80°= u s ,

u s

= i Z ' .

 

100

Таким образом, уелекнее уравнение справок

р данном случае yew ine одно, значит, будет одно нор­ мальна« уинміеіик и одна коррелята. Уравнения коррелят:

cj —к , OlI —OCg3 Ol2 I •

t/} =k a2

f} ^ k o s f

Тогда

3k + i2 " -0 ; к ~ - ч " ;

o-3 = -ч/ 'l.

Таким образом,

jct = l f - с/ = 't3°I5* 13" f

* i ~ L2 ~ fJ2 * 7 & W 4 6 " i

x3 =L3 ~ b% = 58°0I»0I-.

■Раиаер.точные измерения

При этом, как и в предыдущем случае,

£ р v 1/J = m i n .

Уравнения коррелят получатся такими же, за исключе­ нием того, что г. правой части будет величие веса:

т< = ^ ( аЛ r ^ V • • - t k 2 * > ) ;

ют

^ у г (к*аг ^ 2 кг + " ’ t k z \ ) i

' ' ****/») *

Нормальные уравнения:

L о J 21 f \

Г— ~LLr

1—

1—

7 IP .J

+ ал

=0 \

'

 

j +£ ^

= 0:

1+ us * 0.

LP -I

7

 

Нахождение ошибок функции урине иных элементов при уравнивании с условными уравнениями производится так же, как при уравнивании с уравнениями поправок.

о '17. Сглаживание экспериментальных зависимсстсЛ по методу наимень­

ших квалсатов

В практике часто встречается необходимость определе­ ния функциональной зависимости одних гидрометеоэлемен­ тов от других. Исходными данннми для решенил такой за­ дачи являются результаты эксперимента, сопровождающиеся неизбежными погрешностями измерений. Поэтому необходимо, по возможности, точно отразить общую зависимость функ­ ций от аргумента и вместе с тем сгладить случайные ошибки измерений. Вид функциональной зависимости чаще

всего определяется характером экспериментальной кривой или теоретическими соображениями.

ІО?

Смотрите также файлы