Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Так как по условию метода наименьших квадратов наблю­ дения являются взаимно независимыми, то матрица ошибок измерений будет состоять из независимых случайных вели­ чин. Известно, что точность системы случайных величин может быть оценена ее корреляционной матрицей. На глав­ ной -диагонали этой корреляционной матрицы должны стоять дисперсии случайных величин, а остальные элементы мат­ рицы представляют собой корреляционные моменты.

В рассматриваемом случае в силу независимости случай­ ных величин корреляционные моменты будут равны нулю,

а на главной

диагонали по-прежнему будут стоять диспер­

сии, поэтому

корреляционная матрица будет диагональной.

Диагональной

также будет и обратная ей матрица весов:

 

р

О о . . .

. о

Р=Р

о р2 о • * ' '0

г rNN

О

О Р3. . .

- О

 

о

о О . . .

.рм

Для оценки точности уравненных значений неизвестных, нам необходимо вычислять сумму квадратов остающихся погрешностей с учетом их веса. В матричной форме это выражение будет т е т ь следующий вид:

Т ^ Р Х - Г Р Ѵ ,

(2.26)

7=1

что соответствует записи так называемой квадратичной Іюрмы. напомним, что квадратичной формой вектора Хп<,

яіляется матрица Q , элементы которой получаются в результате

109

п

п

Q

Z j a 7S х г

7-t

s=l

или

Q=XTAX ,

где /4 - матрица квадратичной формы. С учетом (2.26) требование метода наименьших квадратов можно записать так: _

ѴТРѴ=тіп. (2.27)

Очевидно, что для выполнения (2 .2 7 ' необходимо соблюсти следующее условие:

д— [?ѵ<А=о

(2-

д X^ г1

или в развернутой форме

„ до?

(2.28»)

где

до?

„ = а . .

дх7і

Локажем, что условие (2.28) равносильно условию

А ТР Ѵ ~ 0 .

(2.2Ч)

Запишем матрицу коэффициентов уравнений погрешнос­ тей:

*■*//

а /2

а ,з •

• •

а ,п

а гі

а гг

а 23 *

■ *

а ггг

А ~ А Мп~

-

:

1--------

а м

* - а ып_

n2 а* э ‘

ІЮ

Выполним ее транспонирование:

ч аг, аз/ • • • <*м, '

а/2а2°32•• • аЫ2

а2па3п‘• * а /7/Ѵ_

Обратимся еще раз к (2.28):

 

Г

Вх/г

 

 

 

f .

 

 

 

р щ

Ь

*

J

тЕ ъ а *і°ъ-

 

 

L

 

 

*=/

 

 

Как

видим, коэффициент

а .

в (2.28)

соответствует

транспонированной матрице

А

и поэтому

произведение

•р2 с/г

можно написать

так:

 

 

 

 

 

f t

tA

 

 

 

 

 

 

 

 

- р ѵ

 

 

 

 

 

 

Ѵ,

ѴІ

 

 

J

и окончательно

 

 

 

АТРѴ=0 .

 

(2. 20)

Таким образом, условие (2.2В) равносильна условие

(2 .28).

 

_

_

Папиием матричное

уравнение

поправок V*=AX~L .Ум­

ножим это равенство

слева на А Р

 

Л ТР Ѵ = А ГР А Х - Л ТП .

Но доказанному ранее левая часть будет равна нули.

Тогда

ATPAX=ATPL .

I ll

Обозначая

А ТР А = С ,

 

получим

 

 

С Х = А ТР І

,

(2.30)

откуда

 

 

 

 

X = c 'a TP L .

(2.31)

Система (2.30) является системой нормальных уравне­

ний. Ее матрица симметрическая

 

 

\ра,° ] [,° аіа2] ■• -\Ра, ап]

 

Спп =

[Раг а] [ Р а*а*\-

■ ' [Ра2а*]

1

 

...................................................

 

\ f a*a][p ana2 \ ■ • [Рап а^

а матрица, стоящая в правой части (2.30), есть матрица

и т и л и е ц ,

ATPL

[Ра«*\

Из уравнения

х =с~'а тР I

особенно четко видно, что вектор оценок по методу наи­ меньших квадратов определяется как линейная комбинация свободных членов.

"ля оценки точности неизвестных нам необходимо найти соответствующую корреляционную матрицу.

ттр

Обозначим

 

d =c ~'a tp

( 2, о с;

и тогда

 

 

 

 

X = D l ■

 

Hannen

очевидное

тоідестю

 

 

х = с ~ ' с х .

 

Вместо

матрицы С

подставим ее

значение

С=АТР А )

х= с ~'а тр а х

исоставим разность

х - х =c 'a tp l - c 'a7РА X =

= C''a tP ( L - A X ) 'у

1 = .

Заменим

X - X = c ' A TP ( & + y - Â X ) •

Из предыдущего

У - А Х = 0

и поэтому

Х - х =с ~'а тр а

или

Х~ Х = І>Д у

Д- нормальный случайный вектор погрешностей из­ мерений. Его корреляционная матрица вам известна, по­

скольку она является матрицей, обратной диагональной матрице весов

8

И З

 

Кл=Cj 2P 4

 

(2.34)

 

а

 

 

 

г

дисперсия

единицы веса, а

б =

б

где <5 -

— — •

 

 

 

z

ѵ_

 

 

 

 

/ 7

В теории вероятностей доказывается, что если случай­

ный вектор

Z подвергается линейному

преобразованию

вида

 

 

 

 

 

=

t

 

(2.35)

то его корреляционная матрица должна быть подвергнута следующему преобразованиюг

К = А, Кг А] .

(2.36)

На основании этой теоремы можем записать k~=d k 6d t=c ''a тр б 2р ~'(с 'атр ) т=

= 6 2с ~іа тр а (с , ) г ;

С - матрица симметрич'еская и поэтому операция тран­ спонирования ничего не изменяет,

Из предыдущего

АГРА = С .

Таким образом, окончательно получим матрицу

К~ = б

2С >, '

(2.37)

X

7

 

которая выражается через коэффициенты нормальных урав­ нений.

114

Б случае взаиьо зависимых ошибок наблюдений матрица весов перестает быть диагональной, поэтому применять без оговорок основные положения метода.наименьших квад­ ратов теперь уже нельзя. Покажем, что с помощью метода наименьших квадратов можно находить вероятнейшие зна­ чения неизвестных и при зависимых измерениях. Напишем уравнение ошибок AX-L = ~А , где А - вектор оши­ бок измерений, причем корреляционная матрица его имеет Форму, отличную от диагональной.

Умножим праву» и левую часть уравнений слева на не­ которую квадратну» матрицу Ѳ :

ѲАХ~ѲІ = ~ 9 А .

При этом случайный вектор ѲА

будет

иметь

корреля­

ционную матрицу

 

 

 

 

* е < Г ѳ к л ѳ Т

■

 

 

 

Преобразование с матрицей

Ѳ

можно

выбрать

так,что­

бы новая корреляционная матрица оказалась диагональной, Тогда препятствия к применению метода наименьших квадра­ тов исчезают и уравнение

ѲАХ-Ѳ1.--Ѳа

может быть решено обычным путем, в том числе и по фор­ мулам, приведенным ранее.

Обозначим коэффициенты нового уравнения:

Ѳ А = А ' і

; Ѳа = А -

Тогда

 

AX-L

•

Кроме того, обозначим

a 'x - l ' - v '.

II5

Теперь

ѵ ' = ѳ ѵ .

При этой требование принципа наименьших квадратов

[ р Ѵ Ѵ ] = т і п

будет иметь ікд

[ р ѵ ' ѵ ' 1 =ті/1

ИЛИ

Ѵ ' ТР ' v ' - m i n .

Здесь p ' - матрица, обратная корреляционной,

Р '= « а л -

Система нормальных уравнены! в этом случае запишете* так:

c ' X - f t f p ' L ' ,

откуда

x - p r W W ,

где

C‘ (A')TP W .

Покален, что вместо преобразования исходной системы реиение можно проводить и под условием

Ѵ ТР Ѵ = т і п ,

где Р во всех случаях определяется как матрица, об­ ратная корреляционной при любом виде исходной корреля­ ционной матрицы;

ІГб

Смотрите также файлы