Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 89

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

значениям , полученным по формуле (1.45), найти вероятность. Если эта вероятность мала, значит принятая гипотеза о соответствии теоретического и эмпирического законов распределения не подтверждается; если вероят­ ность велика, значит, эмпирическое распределение не про­ тиворечит теоретическому.

 

Все приведенные формулы справедливы, если число опы­

тов

велико

(больше

І00-І50).

 

 

 

 

Кроме

критерия

2

 

 

 

 

 

может быть использован и крите­

рий Колмогорова

Л

:

 

 

 

 

 

 

 

D = -m ax f f %

) - F ( x ) j .

(1.47)

 

Величина разности связана с критерием Л

следующим

соотношением:

 

А =Dyfn

,

 

 

 

 

 

 

 

(1.48)

 

 

 

 

 

 

 

 

где

п

-

число

наблюдений.

 

 

 

 

Величина

Л

в

свою очередь подчиняется

закону

рас­

пределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«=

к-1

- 2 к гЛ2

(1.49)

 

 

Л Л - W - E ( - І )

е

 

 

 

 

 

 

 

 

к =- °о

 

 

 

 

Для этого распределения имеются соответствующие

 

таблицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если вероятность, соответствующая полученному Л

,

мала, то гипотеза отвергается.

 

 

Достоинством критерия Колмогорова является простота

вычисления,

однако

при этом не учитываются дополнитель­

ные условия.

 

 

наблюдений ( п =

 

 

Пример. По результатам

500) со­

ставлена

таблице

( т а б л .І .і) .

 

 

 

31

3

-4-3 -3-2

-2-1 - I 0

0 I I 2

2 3 3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

т і

6

25

72

133

120

88

46

10

 

 

 

 

 

 

 

 

п ? і

6,2

26,2

71,2

122,2

131,8

90,5

38,2

10,5

 

 

 

 

 

 

 

 

(pir n f f 0,04

Т,44

0,64

0,64

 

6,25

,

° ’25

 

 

 

 

 

 

 

 

т .г

= 0,168

 

( ^ = 1 , ^ 8

 

 

Требуется проверить согласие данного распределения с нормальным, параметры которого равны эмпирическим.

Для вычисления функции р^ необходимо использовать

функцию Лапласа

Л

1

 

,асі+ Г тх

- Ф

(1.50)

2

<Р\ G x { 2 J

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

т / Х -г+1

-

*Г всГ гпх

 

е . ф '

(5Х /- Ф

( І .5 І )

 

(5V.Х

 

%г=3,94 ; ъ =8-3=5 .

Число степеней свободы равно числу разрядов минус

число

наложенных связей (в данном случае 3).

Из

табл.4 Приложения [ 5 ] находим для г = 5:

32

при

X,2

=

3,00

Р

-

0 ,7 0 ;

 

при

X 2

=

4,35

р

=

0,50.

 

Следовательно,

 

искомая

вероятность р при ^

2

 

= 3 ,9 4

приближенно равна 0,56. Эта вероятность велика. Поэтому гипотезу о соответствии нормальному закону распределения можно принять.

§ 4. Опенка параметров закона распределения

Важными характеристиками распределения случайных ве­

личин

являются математическое ожидание

т х

и дисперсия

Dx .

Однако количество исходных данных

для

вычисления

этих параметров ограничено, поэтому значения вычислен­

ных параметров { m x ,D x )

могут содержать элементы слу­

чайности. Таким образом,при обработке

опытных материа­

лов мы получаем приближенные значения

параметров, ко­

торые называются оценками

соответствующих параметров

(моментов). Чтобы эти оценки были доброкачественными, необходимо выполнение ряда условий.

1. Полученная оценка должна быть состоятельной,т.е. она должна сходиться по вероятности к самой величине параметра при неограниченном увеличении числа измерений.

2. Оценка должна быть несмещенной, т .е . математичес­ кое ожидание оценки должно равняться самому определяе­ мому параметру (оценка параметра а обозначается S')'-

(1.52)

3. Полученная оценка должна быть эффективной т .е . Дисперсия этой оценки должна быть минимальной:

32

(1.54)

(1.53)

m i n .

Проверим выполнение всех этих требований при нахожде

ни« оценим математического окидания по формуле

П

Х ь х і

 

 

 

 

—■

г*/

 

 

 

 

 

 

 

 

тх =— п ----

 

ш

мк,

 

 

Эта оценка является состоятельной,

согласно

закону

больших чисел,

при увеламмии

*

величина

т х

ехвдвтея

по вероятности

к т х .

 

 

 

 

 

Оценка является

талик

неемецеииой,

так

как

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

(1.55)

 

 

 

М [т я] т Y j n°x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дисперсия этой оценки

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D[™x \ -

 

 

 

(1.5F)

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

Эффективность или неэффективность оценки зависит от

вида закона распределения величины X

•

?'оио

доказать

что если

величинаX

распределена

по

нормальному

закону

дисперсия

(l.5 fi)

будет

минимально

вовможной, т .е .

оцен­

ка та

является

эффективной. Для других законов

распре­

деления это может быть и не так.

 

 

 

 

 

Проверим оценку

дисперсии Dx

• Ra

иервмй взгляд,

наиболее естественной оцеииой представляется статисти­ ческая дисперсия п

Статистическую дисперсии нохне записать и в другом виде, черев взарей начальный момент:

34

- т~ .2 (1.58)

Здесь оба слагавшіе сходятся по вероятности: первое слагаемое - ко второму начальному моменту; второе слагаемое - к первому начальному моменту.

Проверим несмещенность:

п

I

d

/

y y . l - Y V * .

* * М - Пn

V\ n

/п2 ' г L*Xi n 2 Ш t

}

Найдем математичееное

ожидание ебенх чаете1

еумми;

(1.59)

Так как наблюдения независимы, все корреляционные моменты равны нулю, следовательно, второе слагаемое равно нулю.

Такны образом,

мы получили

смещенное значение

дис-

персни.

При

п ^

30

коэффициент

п - і

практически

не

 

п

влияет

на результат,

но при малом

п

оиибиа является

онутшой. Чтобы избаииться от нее,

надо умножить ста­

тистическую дисперсию на величину,

обратную коэффициен­

ту

.

Тогда

 

£ ( * г ” у ) г

 

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z>[x]-

 

 

(1.50)

 

 

 

 

 

 

 

 

гг-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' г

 

п

 

(І.6І)

 

 

 

 

,*Ѵ

 

 

 

 

 

 

5 Й -

 

— /7 7 ‘

П -1

 

 

Точность измерений можно характеризовать и вариаци­ ей, или коэффициентом изменчивости,

35

Смотрите также файлы