Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

(1.62)

тX

Спомощью этого показателя удобно определять точность измерения углов, длин, расчета функций и т.п .

Все рассмотренные оценки называют точечными, так как они представляют из себя число, показывающее расположе­ ние данной оценки на числовой оси.

Более подробные характеристики качества выполненных измерений можно получить, применяя метод нахождения доверительных интервалов. В этом методе оценивается ве­ роятность того, что разность между оценкой и действи­ тельным значением параметра не выйдет за пределы не­ которого наперед заданного интервала:

p[(s-a)*e]=ß. (і.бО

Это равенство можно переписать следующим образом:

Величина интервала является неслучайной, случайной оказывается положение самого интервала на числовой оси.

36

этим обстоятельством, можно вычислить вероятность того, что оценка математического ожидания не выйдет за задан­ ные пределы:

Последняя формула выражает эту вероятность через нормальную функцию распределения. По таблице функции Лапласа, задаваясь определенным уровнем вероятности, можно определять величину интервала, или по величине интервала - доверительную вероятность.

Для упрощения вычислений при нахождении величины интервала существуют специальные таблицы обратной функции Лапласа

37

В большинстве руководств вычислено

Значит величина доверительного интервала может быть построена так:

го отклонения.

Аналогично могут быть построены доверительные интер­ валы для дисперсии и среднего квадратического отклоне­ ния. Для этого так же, как и в предыдущем случае, необ­ ходимо иметь значение среднего квадратического отклоне­ ния самой дисперсии. Данную характеристику можно найти исходя из следующих соображений. Используя соотношения между моментами четвертого и второго порядков, напишем

( м о ;

Здесь D * - точечная оценка дисперсии.

Если пренебречь членами, в знаменателе которых стоит

п 1 и п 3 , то получим приближение

или

для нормального закона распределения

38

д= < Г 2 ;

Л- 3 6 '*-

Подставив эти величины в (1.70), получим

Так как для нормального закона

7

то

бГ

или, учитывая необходимость получения несмещенной оценки, напишем

39

Теперь можно построить доверительный интервал для дисперсии

Излохвнный метод является приближенным, так как он основан на том, что закон распределения оценки диспер­ сии принят нормальным ( t ) . На самом деле при малых п

закон распределения оценки дисперсии подчиняется ^ 2- распределению.

С учетом особенностей - распределения построен точный метод вычисления доверительного интервала для дисперсии.

Рассмотрим несмещенную оценку дисперсии

D

40