Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 87
Скачиваний: 0
20 |
Глава ! |
Но
\\f( t) - Pc q(f(t))f<\\f(t) — МО IP ПОЧТИ всюду,
где PCq(-) обозначает проектирование на Сд и является
непрерывной функцией, отображающей Eq в Cq. Более того, функция PCqif(t)) измерима по Лебегу, поскольку
такова функция f (t). Но тогда
ь |
|
|
J II f (0 - Pcq if (0) Г л < |
II f (•) - fn i •) IP ^ |
0, |
a |
|
|
ИЛИ |
|
|
■/ (0 = pcq (f (t)) |
почти всюду, |
|
что и требовалось доказать. |
|
Pcq(f(t)) |
Очевидно также, что проекция на С равна |
||
для любого элемента / ( • ) из рассматриваемого про странства, если только само С не пусто. (Множество С может быть пустым, например, если интервал (а, Ь) бесконечен, a Cq не содержит нуля, скажем состоит из единственной точки, отличной от нуля.) С другой сто роны, если Cq — замкнутый выпуклый конус, то для любого элемента f ( - ) e L 2(a, b)q
[f{t) — Pcq(f(t))< Яс? (/(/))] = 0 почти всюду,
или
В частности, если Cq— положительный конус, или поло жительный ортант, в Eq (состоящий из векторов с не отрицательными компонентами), то
Pcq(f(t)) = |
fit), |
если f {t) <= Cq, |
|
0 |
в противном случае. |
||
|
Задача нахождения проекций усложняется, если выпуклое множество характеризуется „глобальным“ критерием:
Основные свойства гильбертовых пространств |
21 |
В этом случае поступают следующим образом. Для каждого элемента g ( - ) из рассматриваемого простран ства, для которого
ь
|
f ||£(0ІІЛ = т + Д, |
А > О, |
|
|||
|
а |
|
|
|
|
|
ПОЛОЖИМ |
Qfe =={/ (= (а, Ь): II g (i) II > |
k > 0} |
|
|||
и |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d(k )= |
[ II g (t)II dt — km (Qft), |
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
где m (Qfc) — лебегова |
мера множества Qk. |
Нетрудно |
||||
проверить, |
что d{k) — непрерывная |
функция |
от k ^ O . |
|||
Более того, |
d (0) = |
m + |
Д, d (оо) = |
0. |
Поэтому найдется |
|
такое положительное число k, что
J \\g(t)\\dt — km(Qk) = ш.
Qk
Положим далее
4(0J е Ѵ ) - Ц Щ ‘
[ 0 в противном случае.
Тогда g(t) и будет искомой проекцией. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно проверить справедливость неравенства (1.5). Заметим сначала, что для любой функции f (•) из С
■ ь
j [£(0 — É (0. f ( t ) ] d t ^ m sup II g(t) — g (t) II
a
sup II g { t) - è ( t) К * . t
Поэтому достаточно показать, что
ь
tnk < J [g (0 — i (/), è (01 dt.
22 |
Глава 1 |
Очевидно, что правая часть равна |
|
k |
J II g (t) II dt — k2m (Qft) = mk. |
Вероятно, самым простым (но достаточно полезным) примером применения нашего критерия служит тот частный случай, когда С — замкнутое линейное под пространство. Соответствующий результат можно сфор мулировать как еще одно следствие из теоремы 1.2.
С л е д с т в и е |
1.3. Пусть |
М — замкнутое |
линейное |
подпространство. |
Тогда для |
каждого х из Н |
найдется |
в М единственный элемент Рх, ближайший к х. Он называется проекцией элемента х на М и характери зуется условием
\х — Рх, ш\ = 0 для всех п г ^ М . |
(1.11) |
Отображение Р линейно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно заметить, что для любого элемента т е М и любого комплексного числа Ѳ элемент Рх — Ѳт также принадлежит М. Но функционал
g (Ѳ) = IIX — Рх + Ѳт Ip
должен достигать своего минимума в точке Ѳ= О, т. е. его производная должна в этой точке обращаться в нуль,
а это и есть условие (1.11). |
z e M вектор х — z- |
Обратно, если при некотором |
|
ортогонален ко всем элементам из |
М, то |
II je — ш |р= IIX — z |р + II m — z If
и, следовательно, z — минимизирующий элемент в М. Ясно, что Р (ах) = аР (х) и для любого ш из М
[(х — у) — Р ( х ~ у), пг] = О,
так что отображение Р линейно.
Заметим, наконец, что х можно представить в виде суммы двух ортогональных слагаемых:
X = Рх + (х — Рх). |
( 1. 12) |
Основные свойства гильбертовых пространств |
23 |
Такое разложение единственно, поскольку одна из ком понент в силу (1.11) должна принадлежать М.
З а д а ч а 1.3. В этой задаче рассматриваются только вещественные гильбертовы пространства. Пусть е — не который ненулевой вектор. Множество
{h е= Я: [е, /г] < 0}
называется полупространством, а пересечение конечного числа полупространств иногда называют пирамидой.
Пусть {ek: k — 1........ я} — конечный набор ненулевых векторов. Тогда порожденный этим множеством конус Я имеет вид
К = { 2 •
Обозначим через М линейное подпространство, натяну тое на ek, /г = 1 , ... , я. Покажите, что
Pk (я) = PkPm(,г),
где Pk и Рт — операторы проектирования на Я и М соответственно. Найдите общее выражение для Pk (z).
Пусть векторы ek будут единичными. Покажите, что множество
Ck = {v. \\v — ßftlKllü — е,- И, г = 1, .... я}
является конусом и даже пирамидой. Докажите также, что
я = и |
^ . |
|
k |
О п р е д е л е н и е 1.14. |
Ортогональным дополне |
нием Sx множества 5 называется множество элементов, ортогональных к каждому элементу из S.
Из определения сразу ясно, что Sx — замкнутое линейное подпространство. Если же S само есть замк
нутое линейное подпространство, то (SX)± = S. Раз ложение пространства на подпространства М и М х, определяемое формулой (1.12), называется ортогональ ным разлоэюением*
24 Глава I
Пусть {х„: я = 1 , . . . , т) — множество, |
состоящее |
из т ортонормальных элементов. Тогда |
т |
2 [х, х*] хк |
|
|
I |
есть проекция элемента х на наименьшее линейное под пространство, содержащее все хк. Другими словами,
функционал |
U' — |
2 akxk |
достигает |
своего минимума |
||
|
|
1 |
|
|
что в этом |
слу |
по ак при ак = [х, хк]. Заметим также, |
||||||
чае справедливо |
неравенство |
Бесселя |
|
|
||
о < 1 * |
— |
[2х, хк]хк^ |
= |
| | * І РS lU— ', Хк ] \ 2. |
(1.13) |
|
О п р е д е л е н и е 1.15. Замкнутым линейным подпро странством, натянутым на множество S, называется наи меньшее замкнутое линейное подпространство, содержа щее S. Это подпространство обозначается через 3?(S).
Совершенно ясно, что S?(S) совпадает с замыканием
ТП
множества элементов вида 'Еі акхк, /п < оо.
1
О п р е д е л е н и е 1.16. Множество D элементов из S называется плотным в 5, если его замыкание содержит S, т. е. если каждый элемент из S является предельной точкой для D.
m |
о,кхк, |
|
|
Множество элементов вида 2 |
jct |
e S , где все |
|
I |
|
в |
9? (S); более |
линейные комбинации конечны, плотно |
|||
того, замыкание этого множества |
совпадает с j?(S). |
||
П р и м е р 1.3. В Ь2 (а, Ь)4 плотными будут, например, класс бесконечно дифференцируемых функций, отличаю щихся от нуля лишь на некотором компактном подмно жестве, и линейное подпространство, натянутое на класс простых функций. Напомним, что простой называется функция, принимающая конечное число значений, при-, чем прообразы всех этих значений измеримы. Еще одним важным примером' плотных подмножеств может слу жить пространство п раз непрерывно дифференцируемых функций, где целое число п фиксировано.
Основные |
свойства |
гильбертовых пространств |
25 |
|||
З а д а ч а |
1.4. |
Пусть |
/И, |
и |
М2— подпространства. |
|
Покажите, что (Mt f| М2)1 |
= М1 + |
М1, где черта |
сверху |
|||
обозначает замыкание ')• |
|
|
|
|
||
З а д а ч а |
1.5. |
Пусть |
{г/*}— последовательность эле |
|||
ментов из Н, |
а С — множество |
|
|
|||
С — {h: [h, Уі\ = Сі, |
і = |
1, 2, ...}, |
|
|||
где {с,} — заданная последовательность чисел. Покажите,
что если С не пусто, то его молено |
представить в виде |
С — Hq-\- М, |
|
где М — замкнутое линейное подпространство |
|
М — {/г: [h, y t] = 0, / = 1, |
2, ...} , |
а Іг0— такой элемент из ортогонального дополнения к М,
что |
[h0, Уі] = |
Сі, г = 1, 2......... |
|
|
|
где |
Покажите, что проекция Рсх имеет видРсх = /і04-Рмл;, |
||||
через Рмх обозначена проекция элемента х на М. |
|||||
|
З а д а ч а |
1.6. |
Пусть М, |
и М2 — замкнутые подпро |
|
странства и |
„ |
. .. |
_ |
.. |
|
|
|
С, = а-{-Л4„ |
С2 = М2, |
||
где а ортогонально к Мх. Покажите, что если пересече ние С ^ С г не пусто, то его можно представить в виде
с 1п с 2 = й + м 1п м 2,
где b принадлежит замыканию множества М1 + M t. Пользуясь этим, покажите, что проекция элемента х на СI П С2 равна b + Рм,пм2*. Поканѵите, что С\ П С2 пусто,
если а ф. Мх+ М2.
П р и м е р 1.4. Пусть x(t) — вероятностный процесс, для которого Е(| x{t) Is) < ехз, a < t < b . Как известно, каждую функцию x(t) можно считать элементом класса эквивалентности квадратично интегрируемых функций на абстрактном пространстве с мерой:
_________ |
* (t) е= L2(Q, ц), |
') Здесь и в дальнейшем через St + S2, где S,-, /= 1 ,2 , — под множества линейного пространства, обозначается прямая сумма этих подмножеств, т. е. множество элементов s, допускающих единственное представление s = st + s2, где е Si, s2 e S2. —
Прим, nepee.