Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Процесс, удовлетворяющий условиям (і) и (іі), назы­ вают винеровским процессом в гильбертовом про­ странстве.

П р и м е р 5.3. Сохранив обозначения и основные определения предыдущего примера, обозначим через {g^}

будучи ограниченным линейным преобразованием, опре­ деленным на Q, задает элементарную случайную вели­ чину в Ь2(Н, [О, 7]) с характеристической функцией

Е (е1№<»>.*1) = е х р ( - ^ ) .

Стохастические интегралы

Пусть f { - ) ^ L 2(H, [0, 7]) и W(t, со) — винеровский процесс, обладающий свойствами (і) и (іі), сформули­ рованными выше. Тогда интеграл

т

J U(t), dW(t, со)]

о

можно определить так. Для любой ступенчатой функции, т. е. функции вида f(t) = ch < £г+І (г = 0, 1, ..., N), tQ= 0, tN+i — 7, 0 <Нг 7, этот интеграл определяется естественным об-разом:

вать как некоторое линейное преобразование, отобра­ жающее линейное пространство ступенчатых функций из L2(H, [0, 7]) в пространство элементарных случайных величин; для каждой ступенчатой функции f( - ) инте­ грал I (іf, со) определяет на Н некоторый линейный

функционал. Более того, из условия (і) следует, что

Е(| /(/, со) р) = Иf |р,

а из условия (іі) — что для каждого со

|/(Д СО) I<110 Hilf II.

Возьмем теперь последовательность Коши {f„} сту­ пенчатых функций. При каждом п интеграл I(fn, и) определяет ограниченный линейный функционал от со и

І № , • ) - /( /,„ . ^ l K W h - L W -

Это показывает, что линейные функционалы I (fn, •) сходятся к некоторому линейному функционалу на Я, а значит, и к некоторой элементарной случайной вели­ чине. Обозначим этот предел через I (f, со), где f — пре­ дел рассматриваемой последовательности Коши. Но так как ступенчатыми функциями можно приблизить любую функцию /е Я , то / (f, со) можно определить как lim {fn, со).

Заметим еще, что

т

Е (/(/, со) I (g , со) *)= J U(s), g (s)] ds.

о

С помощью стохастических интегралов можно по­ казать, что винеровский процесс можно представить в виде

ооt

где {Фб} — ортонормальный базис в Я, а {gk( ■^ -о р т о - нормальный базис в Ь2{Н, [О, Г]). Для этого заметим,

что интеграл

г

J [gkV), dW (t, о)]

о

определяет на Я непрерывный линейный функционал, скажем [фй, со]. Легко видеть, что последовательность {ф*}

что и требовалось доказать.

Обозначим теперь через JC гильбертово простран­

Покажем, как определить интеграл

Jг К (t) dW (t, ш).

о

Как и раньше, мы хотим, чтобы это было ограничен­ ное линейное преобразование на Ь2{/С, [О, Г]), сохра­

246 Глава 5

няющее скалярное произведение. Итак, пусть сначала К (t) — ступенчатая функция

К(І) = Кі, ti< :t< ti+1,

для конечного разбиения отрезка [О, Т]. Тогда можно считать, что

Iт К (0dW (t, cö)= 2 ^ ( r ^+i' «О- I F ft. со)),

о

Очевидно, что это элементарная случайная величина, поскольку это непрерывное линейное преобразование, определенное на Н. Она имеет конечный второй мо­ мент. Действительно,

Более того, определенный таким образом на множестве ступенчатых функций интеграл линеен, а поскольку множество ступенчатых функций плотно в L2{jf, [О, Г]) и получившееся линейное преобразование изометрично, то можно, как и раньше, определить стохастический интеграл как предел некоторой последовательности Коши. Заметим, что если функции К( - ) и L( - ) принадлежат

L2(jT, [О, Т]), то

Е ^ { K{s)dW{s, со) L (s) dW (s, (ö)

Наконец, отбросим предположение о том, что К( - ) — оператор Гильберта — Шмидта. Пусть К {t) при каждом t есть просто некоторый ограниченный линейный опера­

В этом случае нам придется подойти к определению

стохастического интеграла Ито несколько по-другому.

Прежде всего положим

Заметим, что для каждого п это элементарная случай­ ная величина. Пусть теперь у — произвольный элемент

и, как легко видеть, последовательность {[Ln{K, со), г/]} сходится при всех у. Это значит, что существует эле­

мент L (К, со) е Я, для которого

1іm[Ln{K, со), y] = [L(K, со), у].

Далее, при любом х е Я

sup IIК (ОXII < оо

и, следовательно, в силу принципа равномерной огра­ ниченности