Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Аналогично (элементарная) случайная величина |

имеет конечный момент второго порядка (второй момент),

если

Если I имеет конечный второй момент, то g автомати­ чески имеет конечный первый момент. Это следует из элементарного неравенства

Е(Ш , Ф ]|)< 1 /Е ([|, ф]2).

Обозначим \ = %— т, где nt — Е(|). Тогда случайная

величина | также имеет конечный второй момент, а первый ее момент равен нулю. Для любых двух эле­ ментов X, у из Н

Е([І, х][І у])

есть билинейная форма на Н, и она непрерывна. По­ этому существует такой самосопряженный неотрица­ тельно определенный ограниченный линейный опера­ тор R, который мы будем называть корреляционным оператором, что

Е ([і, х\[%, 0]) = [/?*, у])

заметим, что

Е {[%, х][%, y]) = [Rx, у) + [ш, т\.

В частности, если %—- гауссова случайная величина и, значит,

то g имеет конечный второй момент, корреляционный оператор R и математическое ожидание т.

Теория линейной аппроксимации

Элементарные случайные величины, принимающие значения в некотором гильбертовом пространстве, мы будем обозначать греческими буквами £ и т). Пред­ положим, что эти случайные величины имеют конечные

вторые моменты, а их первые моменты равны нулю. Тогда

Q(x, у) = Е([£, х] [г|, г/])

определяет непрерывное билинейное отображение,' и, следовательно, существует такой ограниченный линей­ ный оператор S, что Q (л;, у) = [х, S«/]. По аналогии с конечномерным случаем обозначим

Rl = Е(ІГ) и #„ = E(1T1*).

Пусть теперь случайная величина |такова, что опе­

и потому

tr S’S < || Ry Иtr R$.

Кроме того (даже не предполагая, что оператор Ri ядерный), имеем

II 5*11<11 ЯЛ [%*:, X],

откуда

II S II <11 ЯЛ II ЯЛ

(здесь II • И— операторная норма).

Так как условие ядерности оператора Я& эквива­

Это определение не зависит от конкретного выбора базиса {<pft}.

Пусть L — оператор Гильберта — Шмидта, отобра­ жающий Я в Я. Если оператор Я ядерный, то | — Lt\ также является случайной величиной с конечным вторым моментом. Ее первый момент равен нулю, а корреля­ ционный оператор ядерный. Действительно,

Е ((£ - Lu) (I - Lr\)') = Ri + LRnL* - LS* - SL*

и каждый оператор в правой части равенства ядерный. Отсюда

Е (III — Li\ Ip) = tr (Яб + ЯЯЛ* - 2LS*) = Q(I).

Заметим, что Q{L) — квадратичная форма по L в гиль­ бертовом пространстве операторов Гильберта—Шмидта. Задачу минимизации этой „ошибки“ можно считать простейшей задачей линейного оценивания случайной величины, принимающей значения в гильбертовом про­ странстве. Решение этой задачи, конечно, довольно просто. Пусть L0— оператор Гильберта — Шмидта и

L0Rr] = S. Тогда

Q (L) = tr (Я5 + (L - L0) Rn (L - L0)' - Я0ЯЛ)),

так что

Q (L )>Q (L 0) = t r ^ s - U № ) .

01L = LR^

и, воспользовавшись определением скалярного произ­ ведения для операторов Гильберта — Шмидта [Л, ß] = = tr Aß*, получим, что

жен, то существует такая последовательность {L„}, что последовательность {|| 9lLn — S ||HS} стремится к нулю

и inf Q(L) = lim Q(L„). (См. по этому поводу работу [11].)

П

З а д а ч а 5.7. Скалярное произведение элементарных случайных величин с ядерным корреляционным опера­ тором можно задать равенством

lb n] = trE(Stf),

и тогда пространство случайных величин станет пред­ гильбертовым. Покажите, что оно полно.

Вероятностные процессы

Теперь рассмотрим вкратце вероятностные процессы в гильбертовом пространстве. Напомним, что вероят­ ностным, процессом называют снабженное индексами семейство случайных величин, причем в качестве мно­ жества индексов обычно берут интервал вещественной прямой. Поэтому для нас вероятностным процессом над гильбертовым пространством будет семейство эле­ ментарных случайных величин, зависящее от некоторого параметра. Обозначим такое семейство через x(t, со), где t принадлежит множеству индексов ST, со е Q, на Q определена алгебра (Г, а на — мера р.

Как обычно, можно рассмотреть все это с несколько другой точки зрения. Пусть X — пространство функций f (t), t^-ST , принимающих значения в Я. Обозначим через 9* наименьшую алгебру, содержащую множества вида

{x: j c e l , x ( t ) ^ F при фиксированном ?},

где F — произвольное борелевское цилиндрическое мно­ жество в Я. Рассмотрим отображение

ср(со) = х( ■, со),

действующее из Q в I . Тогда множество

Ф_1(^) = {ш: х ( - , т ) ^ А ,

р ( Л ) = р ( ф - ! ( Л ))

определяет некоторую конечно-аддитивную вероятност­ ную меру на 9Р. В соответствии с общепринятой терми­ нологией тройку (X, 9\ р) можно назвать вероятностным процессом.

Для каждого у е Л определим соответствующую функцию

242 Глава 5

и, значит, сходимость равномерна по t при любом со. Более того, для любого t функция W(t, со) определяет некоторую элементарную случайную величину, по­ скольку относительно со она является ограниченным линейным преобразованием. Эта функция обладает следующими свойствами:

(ii) W(t, со) при каждом t есть непрерывное линейное преобразование, определенное на Н, причем