Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Ясно, что D(N) представляет собой число целых точек «первого» квадранта (т. е. верхнего правого квадранта), лежащих на или ниже гиперболы xy— N, при этом це­ лые точки, лежащие на осях координат, исключаются, так как для них х у = 0.

Чтобы оценить порядок роста D(N), нам потребуется следующая теорема:

Теорема 7. Пусть g — монотонно убывающая функ­

ция действительного переменного t, определенная при t^O, причем g(i) > 0 при t^. 1. Тогда

где п — целое положительное число, Х ^ 1 и А — посто­

янная, зависящая только от g.

Следовательно,

п+ 1

0 < А я = g (я)— J g ( t ) d t < g ( n ) — g ( n + 1).

П

Пусть М и N — произвольные положительные целые числа и Л4<+/. Тогда

Следствие 1. Существует постоянная у (постоянная Эйлера), такая, что

2 - J - “ l°gX + v + o ( - l - ) .

Следствие 2. Так как

х

Г- Ё — = log log X — log log 2, J t log/

TO

2 < n < X

где В — константа.

Мы можем теперь доказать следующую теорему:

Теорема 8. D(N)=N\ogN-\-0(N).

Доказательство. Как уже отмечалось, D (N) представ­ ляет собой число целых точек в правом верхнем квадран­ те (х, у) -плоскости, которые лежат на или ниже гипер­ болы xy= N , но не лежат на координатных осях. Очевид­ но, эти точки лежат левее прямой x — N и ниже прямой y = N (рис. 3). Сосчитаем число целых точек на каждой

N

я(ло = 2 Г—

I х

Положим [N/x] = N /x —б*, где O ^G ^Cl. Тогда

N N N

D (N )= N lo g N + 0 (N ).

Теорема доказана.

Теорема 8 может быть значительно усилена. В каче­ стве первого шага мы докажем следующий результат:

ABGEO и CDOFG (рис. 4) содержат одно и то же число

целых точек. Общее число целых точек в первом квад­ ранте, которые лежат на или ниже гиперболы (но не ле­ жат на осях координат), равно поэтому удвоенному чис­ лу целых точек в области ABGEO минус число целых то­