Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
§ 4. Функция а(п) |
75 |
°k (я) = 2 dk, k = 0 ,\ ,2 ......
d\n
так что 0 o(n)=d(ti) и о(п) =oi(n).
Теорема 10. Арифметическая функция ак(п) мульти
пликативна.
Доказательство. Рассуждения, аналогичные рассуж дениям теоремы 2, показывают, что если (m, n) = 1, то
У й % й ' = 2 d*.
d|m d'|n |
d*\mn |
Отсюда следует мультипликативность а(п). Подобным
же образом доказывается и мультипликативность ah(n).
Г
Теорема 11. Пусть n = J~[ Р?1— каноническое разло-
i= i
жение числа п > 1 . Тогда
|
г |
(аг-Н)6 |
|
|
= П |
• |
<6 ) |
|
/-1 |
р * --1 |
|
Доказательство. |
Поскольку функция аи{п) |
мульти |
|
пликативна, мы имеем |
|
|
|
Г |
Г |
|
|
М « ) = П аМ ) = П I1 |
+ р? + . . .-ьр“<й)= |
||
i= l |
i= l |
|
|
|
-п |
|
|
i—1 |
|
и, в частности, при k = 1 |
|
|
г |
( а ;+1) _ |
|
0! (/г) = 0 (я) = [~ [ |
--- --------- -— . |
(7) |
»=i |
Pi — 1 |
|
|
|
С функцией о(п) связана старая проблема совершен ных чисел. Положительное число N называется совер
76 |
Г л. VI. Арифметические функции и целые точки |
шенным, если o {N )—2N, т. е. N равно сумме всех его положительных делителей, меньших N. Например, 6 и 28 являются совершенными числами.
Целые числа вида 2™— 1 называются числами Мерсенна, а простые числа такого вида называются просты ми числами Мерсенна.
Связь между простыми числами Мерсенна и совер шенными числами устанавливается следующей теоремой:
Теорема 12- Если |
2п+1— 1 является простым числом, |
то 2n(2n+1— 1) есть совершенное число. |
|
Доказательство. |
Пусть N — 2п(2п+1— 1 ) = 2 пр, где р |
простое. Тогда, согласно (7),
a(N) = (2n+1— 1) (pH-1) = (2»+'— 1)2“+1 =2Л^.
Следовательно, N — совершенное число.
|
Эйлер заметил, что этот результат можно частично |
||||
обратить, |
а именно, справедлива следующая теорема: |
||||
|
Теорема 13 |
(Эйлер). Каокдое четное совершенное |
|||
число имеет вид 2пр, |
где р = 2n+1— 1 есть простое число |
||||
Мерсенна. |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
Пусть N = 2 nN' — совершенное чис |
|||
ло, где |
1, и N' — нечетное число. Тогда |
||||
|
|
|
a(N) =2N — 2n+1N'. |
||
В |
силу мультипликативности о мы имеем |
||||
|
|
|
a (N )= a (2 n)a(N'), |
||
и |
так как, согласно |
(7), а (2 п) = 2 п+1— 1, то |
|||
|
|
|
(2n+'— l)o (N ')= 2 n+lN'. |
||
Следовательно, |
(2n+I— 1) |Л7'. Если мы положим N' = |
||||
= (2»+1— 1 )N", |
то o (N ')= 2 n+lN", где N "<N '. Но N '+ |
||||
~{-N"=2n+lN" = o(N'). |
Таким образом, и N', и N" де |
||||
лят N' и их сумма равна a(N'). Значит, число N' не мо жет иметь других делителей и потому оно является про стым. Но N'—(2n+l— 1 )N". Следовательно, N' = 2n+l— 1, N"= 1. Тем самым теорема 13 доказана.
Неизвестно, будет ли бесконечным множество четных совершенных чисел (т. е. неизвестно, будет ли бесконеч
§ 5. Функция Мёбиуса у(п) |
77 |
ным множество простых вида 2п— 1). Неизвестно также, существуют ли нечетные совершенные числа.
Простые числа Мерсенна — это простые числа вида 2"— 1. Легко видеть, что если n > 1, а — положительное
целое число и ап— 1 является простым числом, |
то а = 2 |
||
и п также должно быть простым числом. |
Действительно, |
||
если а > 2 , то {а— 1) |(ап— 1). Если же |
а = 2 |
и n = kl, |
|
\ < k ^ l, то (2ft— 1) |(2n— 1). |
|
|
|
§ 5. Функция Мёбиуса |
р(и). Функция |
Мёбиуса |
|
р ( « ) — это арифметическая |
функция, которая |
опреде |
|
ляется следующим образом: |
|
|
|
(i)ц(1) = 1;
(ii)р(п) = (— l ) ft, если п есть произведение k различ
ных простых чисел;
(iii) р(д) = 0 в противном случае, т. е. если п делится на квадрат целого числа, отличного от единицы.
Из определения сразу же вытекает
|
Теорема |
14. |
Функция |
Мёбиуса |
р(п) |
мультиплика |
||||
тивна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 15. |
Справедливо соотношение |
|
|||||||
|
|
V! |
... |
[ 1, |
если п = |
1, |
|
|||
|
|
d,„ |
|
I 0, |
если п > |
1. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
тп |
|
|
|
|
Доказательство. |
Пусть |
|
п = П р“* — |
каноническое |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
‘ |
|
|
разложение числа /г > 1. |
Делители d |
|
числа п, для кото |
|||||||
рых p(d) ф 0, имеют вид |
|
|
|
|
|
|
||||
1, |
Pi, Р2, .... |
Pm, PiPi(i¥-j), |
PiPiPh(i¥:j=£k), . .., P\P2-Pm. |
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
p (d) = p (1) + |
£ |
p (pt)-f |
Yi M'(P« Pi) + ... + p (рхРг-Рт) |
||||||
d\n |
|
l |
|
|
{ < / |
|
|
|
||
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
||
s ^ . - ( 7 ) + C ) - ( r ) + . . . = « - n - o .
din
78 |
Г л. VI. Арифметические функции и целые точки |
Заметим, что функцию Мёбиуса можно определить, ис пользуя теорему 15, и вывести из нее свойства (i), (ii), (Ш).
Наиболее важные приложения этой функции основа ны на так называемых формулах обращения Мёбиуса.
Теорема 16 (первая формула обращения Мёбиуса).
Пусть f — арифметическая функция и
g(n) = h f(d ).
d\n
Тогда
|
|
d\n |
|
|
|
|
Доказательство. |
Мы имеем |
|
|
|
|
|
2 ^ ) g |
2 v ( d ) 2 w |
= |
|
|
|
|
d in |
din |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 /(<*') |
2 |
^ |
|
|
dd'\n |
|
d 'ln |
I |
n |
|
|
|
|
|
|
d' |
и, следовательно, по теореме 15 |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
= |
^ л)- |
|
|
|
din |
|
|
|
|
|
Справедливо и обратное утверждение: |
|
|
||||
Теорема 17. Если |
|
|
|
|
|
|
а И |
= 2 |
= |
2 |
^ |
|
|
|
d\n |
|
d\n |
|
|
|
TO
f(n )= Y i h(d)-
din
|
§ 5. |
Функция Мёбиуса у(п) |
79 |
|
Доказательство. |
Мы имеем по теореме 15 |
|
||
2 м й - Е * ф - Е Е | * ( £ г ) « о - |
|
|||
d\rt |
d\n |
dm |
п |
|
|
|
d |
\~d |
|
- 2 / И 1 |
S |
- ж - |
‘ 'B |
'I-f |
|
В качестве приложения теоремы 16 рассмотрим соот ношение
^cp(d) = л, dm
которое было доказано в теореме 6 гл. II. Из теоремы 16 следует, что
ф («) = 2 |
= |
' |
(8) |
d\n |
|
dirt |
|
Другое приложение этой теоремы связано с функцией Мангольдта А, которая определяется следующим об разом:
А . ч_flog р, |
если п = |
рт, |
р простое, т > О, |
|
1 |
0 |
, если п =f= рт. |
||
Теорема 18. ^A fd) =log п. |
|
|
||
d\n |
|
|
г |
|
Доказательство. |
Пусть п = |
|
||
ПР^ — каноническое |
||||
|
|
|
t=i |
|
разложение числа n > |
1. Тогда |
по |
определению А мы |
|
имеем |
|
|
|
|
£ Л (Ф = |
£ £ Л (р ?)= |
S a i logP t ~ logn - |
d\n |
1=1 a = l |
1=1 |
Тем самым теорема доказана.