Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Объединяя

первую

формулу

обращения

Мёбиуса

и теорему 18,

получаем

A (n)=^(x(d) l o g y ,

d\n

и так как по теореме 15

V]p(d) = 0

при

1

и log 1 = 0,

то отсюда следует, что

d\n

Л ( « ) = — £ р, (d) log d.

(9)

din

Мёбиуса).

Теорема 19 (вторая формула обращения

Пусть функция f определена при х ^ 1 и

* w = 2

/(f)-

п < х

Тогда при х ^

1

/ ( * ) = £

п < х

и обратно.

м .

Сумма £

интерпретируется как

,

а сумма, не со-

п < х

П= 1

держащая членов, полагается равной нулю.

Доказательство. Из определения функции g

мы име­

ем при

1

£ Iх (" ) в ( — ) = 2 И -И 2

f

X

=

v

\x,(n)f X

mn

m,n

mn

1 < m n < x

Группируя

в

последней

сумме

члены,

для

которых

тп = т, 1

получаем

2

|*w (ir)=

л|л

=

m,n

1<Г'.л

§ 6. Функция Эйлера <р(п)

81

х5>1

f№ = 2 **(«)£ (-7

) '

п < х

Тогда

£?(\ -т )]

= ^2 ^£i*<»>*Br)=\ тп }

“S Mn)g(\ тп--)/

т < х

т < х х

т ,п

1 < т п < х

роны,

если

п = р т,

где

р — простое число,

р > 1/е,

0 < е < 1 , и

1, то [см. гл. И]

ф (п) — п ^1----- ^

> п (1 — в).

Из этих неравенств следует

Теорема 20.

lim ф ^

=

1.

П-*-оо П

Другой результат о порядке роста ф(п) дает

Теорема 21,

Для каждого б > 0 мы имеем

ф ( п )

->оо

при П->оо.

Доказательство. Результат очевиден, если

б > 1 -

Пусть 6 ^ 1

и

/(«)

п1- 6

= -

-----.

Ф (п)

Тогда /

мультипликативна,

и в силу теоремы 6 достаточ-

82

Г л. VI. Арифметические функции и целые точки

но показать, что f (pm)->0

при р

-оо. В самом деле, для

каждого 8 > 0

мы имеем

1

<р(рт)

т б ! - - ) >

у Р '

т б

■ ОО

f (Рт)

рт(1_6) — Р

Р /

2

при рт-+-оо.

Из теоремы 20 или теоремы 21 следует,

что утверж­

дение ф (п) = О(яА) неверно, если А<

1.

Порядок роста ф(я) в среднем. Изучим поведение

сумматорной функции для функции ф, а именно

ф (/)=

£ ф(я).

l<n<i

Заметим, что значение Ф(Ы)

равно числу

членов в по­

следовательности Фарея порядка N.

Теорема 22

(Мертенс). Ф (t) =

Q/2

------- |-O (flog0-

я2

Доказательство.

Мы имеем

Ф (0 =

2

2

1

= 2

1 .

( т , п ) = 1

( т ,п ) = 1

и,

следовательно, Ф (/) равна числу целых точек с вза­

¥ ( 0 = 2 Ф (0 — 1,

(10)

§ 6. Функция Эйлера <р(п)

83

так как точка х — у = 1

содержится

в обоих

треуголь­

никах.

число

целых

точек в

квадрате

0 C x ^ .t,

Общее

О< y ^ t равно [Т]2, так что

Ш2 =

2

1.

0 < m < f

0<л<*

Отсюда мы получаем

м 2 =

2

2

1-

( п )

l < d < t

О< m < t

О< л<<

(m,n)=d

Далее,

(т ,

я) = d

тогда

и только тогда, когда

(mid, n/d) =

1. Следовательно,

существует взаимно одно­

[/12= 2 ¥ (т )’

(12)

1 <d<t

ния Мёбиуса, мы получаем при

1

^ ( 9 =

2

1 < d < t

Пусть i/d=[t/d]-{-Q, где О ^ 0 < 1 . Тогда

4 4 0 = £ | .№ { ^ - + о а ) ) г =

=' ■ £

+*•<>(

£ i ) + ° (

£ >)•

1<d<t

1<d<t

1 <d<t