Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 98

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

84 Г л. VI. Арифметические функции и целые точки

так как |ц (п )|^1. В силу следствия 1 теоремы 7 мы знаем,что

2 ( .° {

Yi y )

=

2f.o(log* + Y +

o ( - f ) ) = 0 ( * l o g Q

 

1 < d < t

 

 

 

 

 

 

 

 

и 0 (

%

l ) = 0 ( t ) . Следовательно,

 

 

 

1 < d <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

У

»Ш. +

0(Поё 1).

(13)

 

 

 

 

 

^

а2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 <d<t

 

 

 

 

 

Чтобы оценить сумму в формуле (13), заметим, что

 

 

 

у

ц (d) _

у ц (d )

 

у

ц (d)

 

 

 

 

d 2

 

^

d 2

4=[<1+1

d 2

 

 

 

1<d«

 

d—l

 

 

 

 

 

oo

 

oo

 

oo

_1_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

m+i

 

m+i

 

u2

Щ

 

 

 

 

m

 

 

 

Тогда из (13) следует, что

 

 

 

 

 

 

 

^ ( 0 = '2Х ^

+ ° ( ^ 0 -

0 4)

 

 

 

 

 

“

а*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d=l

 

 

 

 

 

Ряд

У

можно вычислить следующим образом.

По-

 

d=1

d2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скольку оба ряда

Ц п -2 И

X ц(т)пг-2 сходятся абсо-

 

 

 

л=1

 

т—1

 

 

 

лютно, то, перемножив их, мы получим

 

 

 

 

 

оо

 

оо

 

 

оо

 

 

 

 

 

У

 

у ц (т) = у _^у

 

 

 

 

V J_

V И"0

V

 

 

 

 

 

^

п2

' ^

т 2

 

^

’

 

 

 

 

л—1

 

т —1

 

v = l

 

 

где

cv = S u (* ). ft|v

Но Ц п~2 = п2/6 и Ci = 1, сп= 0 при n > 1 по теореме 15.

§ 6. Функция Эйлера ф(п)

85

Следовательно,

п = 1

п = 1

 

и, подставляя это значение в (14), мы получим

 

4 4 0 =

-^ - + О(/log /).

 

 

71*

 

Отсюда и из (10) следует, что

 

Ф ( 0 = ~ + О ( * 1 ° 8 0 .

П5)

 

nz

 

как и утверждалось.

Соотношение между ср и о. Интересно отметить, что из результатов о поведении функции ср следуют резуль­ таты о поведении функции о, и наоборот. Это вытекает из следующей теоремы:

Теорема 23. Существует положительная константа С,

такая, что

С < ст ^

ф ^ < 1

при всех п >

2.

(16)

 

п2

 

 

 

 

Доказательство.

Пусть

п =

р“ .

Тогда,

изменив

 

 

 

р\п

 

 

очевидным образом обозначения, мы имеем, согласно (7),

 

ра+1 — 1 '

 

 

1 — р—а—1

о(п) = П

 

Р —

- п

 

 

1 — р

p in

 

 

 

Pin

 

 

Поскольку

 

 

п п

-

 

 

 

Ф («) =

— ) .

 

 

 

Pin

 

 

 

 

мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

а (п) ф (и)

П(*

па+1

< 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р\п

86

Г л. VI. Арифметические функции и целые точки

Тем самым доказано второе неравенство в (16).

С другой стороны,

причем 1 — 1/р2< 1 и произведение в правой части рас­ пространяется на все простые числа р. Тем самым дока­ зано и первое неравенство в (16).

ГЛАВА VII

ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА

ОРАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

§1. Функции Чебышева. В гл. I мы установили, что существует бесконечно много простых чисел. Следова­ тельно, если мы обозначим через я (х) количество про­

стых чисел, не превосходящих х, то л (д :)-» -о о при х -э-о о . Асимптотический закон распределения простых чисел, ко­

торый мы докажем в гл. XI,

даст

нам много больше,

а именно

 

 

Нш п(х)

= 1 .

 

Х-*-°° x/logx

 

 

В этой главе мы докажем несколько интересных проме­ жуточных результатов. Начнем с результата Эйлера

о том, что сумма J ]l\р, где суммирование распространя­

ется на все простые числа, расходится, откуда следует, что простых чисел бесконечно много.

Теорема 1 (Эйлер). Пусть р пробегает множество

всех простых чисел. Тогда сумма У,11р и произведение

П (1 — 1/р )-1 расходятся.

Доказательство. Докажем сначала, что произведе­ ние П (1— 11р)~храсходится, и выведем отсюда утвержде­

ние о расходимости ряда 2 1/Р- Пусть

 

5 ( х ) = £ у > * > 2 .

р<х

р<X

Для действительного числа и, 0 < м < 1 , и положитель­ ного целого m мы имеем

__ 1 _ ^

1 - -Um+1

и Ч-------1- и т.

1 — и

+

1 — и

 

Положим и —1/р, где р — простое число. Тогда из по­ следнего неравенства следует, что для всех простых

88

Г л. VII. Теорема Чебышева

 

Р ( * ) > Щ +

р<х

Выберем теперь т так, чтобы выполнялось неравенство 2т^ х . Тогда

П(' +

м

п—1

р<х

Действительно, каждое целое число п, 1 < и ^ [ х ] , име­ ет в качестве простых сомножителей только простые чис­ ла р ^ х , а неравенство 2т^ х гарантирует, что после разложения левой части последнего неравенства в сум­ му каждое слагаемое правой части встретится среди слагаемых левой части. Таким образом,

w

М+1

^ (*) > S ~ >

[ ~ > 1оё *

п=1

i

и, следовательно, произведение П (1— 1/р)-1 расходится.

Чтобы доказать ра одимость ряда^]1/р, рассмотрим

разложение

Ч п Ы = “+ “2' + Т + • "■

Для 0 мы имеем

l°g

— « < у («а + «3 + «4 “I

)•

Геометрический ряд в правой части последнего неравен­ ства сходится при |и |< 1, так что

log (т~^~] — » <

,

. f 1 . » 0 < « < 1 .

Т — и)

2(1 — и)

Положим теперь и=\/р

и

просуммируем неравенства

log ( — — ) ---- — <

----- ------

 

e U — Upl Р

2р (р — 1)

 

по всем р ^ х . Мы получим

 

 

logP(x) — S(x) < -L V ___ L _ < _ L У ___L

1)

2 ^ 4Р(Р- 1)

2 ^ п ( п -

р<х

П—2

 

§ 1. Функции Чебышева

89

так что

 

S ( x )> \ogP{x) — Y > l o g l o g *

— у .

Следовательно, ряд У]1/р расходится, и теорема 1 полно­

стью доказана.

Функции Чебышева ■&и ф определя­

Функции ^ и

ются следующим образом:

 

 

 

0 (*) = S lo g P , х >

0, р—простое число,

(1)

 

р < Х

 

 

 

И

 

 

log р, х > 0 .

 

 

 

ф (*) = S

(2)

 

 

рт<х

 

Сумма

(2) распространяется на все пары р, т, где р —

простое, а т — положительные целые числа, такие,

что

рт^.х.

Это означает, что

если рт— наибольшая

сте­

пень р, не превосходящая х, то log р в сумме (2) засчи­ тывается точно т раз. Например,

ф(10) = 3 log 2 + 2 log 3+ lo g 5+ lo g 7.

В § 5 гл. VI мы ввели функцию Мангольдта

flog р,

если п = рт, где т— положительное целое

А (п) =

если п =j= рт.

 

число,

I 0,

 

 

Из определения ф непосредственно следует, что

 

ф (х) = У] А (п).

 

(3 )

 

П < Х

 

 

Далее, из (1) и (2) вытекает, что

Равно произведе­

нию всех простых р ^ х и при х~^ \ е’^ е с т ь

наименьшее

общее кратное всех положительных

целых

чисел =S+.

Если рт^.х, то р ^ .х 1/т , и обратно. Тогда из (2)

следует,

что

 

 

Ф « = о (X) + fl (х1/2) + # ( х 1/3) + ...,

(4)

причем этот ряд конечен, так как ■0{х) = 0

для х < 2 . Ес­

ли рт^.х<срт+1, х~^\, то logp в формуле

(3)

для ф(х)

встречается точно т раз и т = [log лг/log р] . Следователь­

Смотрите также файлы