Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
90 |
Г л. VII. Теорема Чебышева |
но, мы получаем четвертое выражение для ip (л:), именно
* М = £ [ ^ ] 1о8Р- |
И |
р<X
Установим теперь связь между функциями
л (х) |
О1(х) |
ip (х) |
x/logx ’ |
X |
X |
Теорема 2. Пусть
/х = |
H m |
" W , t |
|
Х-ю° x/logX |
|
i2 = |
нш А М . |
|
|
*->оо |
X |
l3 = |
lim -,'ФМ . ^ |
|
|
*-► 00 |
X |
Тогда li = l2 = k и L1 = L2 = L3.
Lj = lim к(х) x/logx
т Т— Ф(*) Z.2 = lim— — ,
*->■00 X
и = ш ^ й . .
Доказательство. Из (4) следует, что Ф(л:) =^ф(л:).
Далее, из (5) вытекает, что
Ф (*)< 2 - ^ - l ° g P = l o g ^ S l . |
|
log р |
“ |
р<х |
р<х |
так что |
|
ф(л:) г^я(я) |
log х. |
Следовательно, |
|
■O'(je) ^ф (л:) |
log х. |
Если теперь мы разделим эти неравенства на х и устре мим х к бесконечности, то получим
L 2 ^ L 3^ .L i. |
(6) |
|
Выберем действительное |
число а, |
0 < а < 1 , и пусть |
* > 1 . Тогда |
|
|
Ц х )> |
S log р, |
|
xa <p<x
§ 2. Теорема Чебышева |
91 |
и так как log p > lo g х а, |
то |
|
|
|
|
■О(л:) > |
a log х |
I] |
1. |
|
|
Х а ‘ < р < Х |
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
■О(х) > a log х (я (х) — я (ха)). |
|||
Но, |
очевидно, я (х “) < х “ , так что |
|
|
|
|
$ (х) > ая (лг) log х — аха log х, |
|||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
± < ± > о т (х ) М * . - а Ье±. |
|||
Далее, 0 < а < 1 , откуда |
(log х/х1- а')^-0 при х-*-оо. Сле |
|||
довательно, |
|
|
|
|
|
Ь2^аЬ\ |
|
|
|
для |
любого действительного |
а, |
0 < а < 1 . Поэтому |
|
L2^ L U и, сравнивая это неравенство с (6), мы получаем
Ll= L2 — L3.
Доказательство того, что h = k = k, приводится таким же образом. Из теоремы 2 следует, что если одна из трех функций
я (х) |
й (х) |
|
гр (х) |
xjlogx |
х |
’ |
х |
имеет предел при х->-оо, то другие две функции также имеют пределы при x-voo и все эти три предела совпада ют. Таким образом, для того чтобы доказать асимпто тический закон распределения простых чисел, достаточ
но доказать, что Н т ф (х )/х = 1 .
Х-+СО
§ 2. Теорема Чебышева. Мы используем теорему 2 для доказательства следующей теоремы:
Теорема 3 (Чебышев). Существуют постоянные а и А, О < а < Л , такие, что для всех достаточно больших х
92 |
Г л. VII. Теорема Чебышева |
|
|
|
|
х |
а —-— < Я (X) < А |
|||
log * |
|
log ж |
|
Доказательство. |
Пусть |
|
|
I = lim |
п М . t |
L = |
я (x) |
lim |
|||
|
x / l o g x |
|
*->■00 x ! log л: |
Если мы покажем, что Lsgl41og2 и /^ lo g 2 , то теорема будет доказана. По теореме 2 оба эти неравенства экви валентны следующим неравенствам:
L = Ит |
< 4 log 2, |
(7) |
I — lim JL W -> io g 2. |
(8) |
|
Доказательство неравенства (7). Биномиальный коэффициент
2п |
(д + 1)(я+2)...(2я) |
N = |
1 - 2 - 3 . ..п |
п |
обладает следующими свойствами: (i)N есть целое чис ло, которое является наибольшим членом в биномиаль ном разложении выражения (1 + 1)2”, содержащем (2п +1) членов, так что
дг< 2 2п, 22n< ( 2 n + l ) N ; |
(9) |
(n)N делится на произведение всех таких простых р, что п<Ср^2п, так как эти простые входят в числитель N и не входят в знаменатель.
Поэтому, согласно свойству (И), мы имеем |
П Р |
и, следовательно, |
п<р<2п |
|
lo g N > S log р = ft (2n) — Ф(«).
л < р < 2п
Но из (9) мы получаем, что log |
N < 2 n log 2. Значит, |
|
-О- (2гг)— #(n) < 2 n |
log 2. |
(10) |
Если мы положим в неравенстве (10) п=П, 2, |
22,..., 2т~1 |
|
и сложим полученные неравенства, то получим |
|
|
§ 2. Теорема Чебышева |
93 |
|
|
т |
|
Ф (2т) — Ф (1) < |
log 2 Ц 2r < 2m+1 log 2, |
|
|
r = 1 |
|
или, поскольку Ф(1) = 0, |
|
|
Ф(2т ) < 2 m+1 log 2. |
(11) |
|
Пусть теперь х > \ |
и т — положительное целое, та |
|
кое, что 2m- ’ < x < 2 m. Так как функция ■&(х) неубываю щая, из (11) следует, что
■ 0(хХ Ф (2 т ) < 2 m+1 log 2s^4x log 2.
Следовательно, Ф(л:)/л: < |
4 log 2, откуда вытекает, что |
L - lim |
4 log 2. |
*-+оо |
X |
Тем самым неравенство (7) доказано.
Доказательство неравенства (8). Доказательство второй части теоремы Чебышева проводится другим спо собом. Оно основано на важной формуле для показате ля, с которым простое число р входит в каноническое разложение т.
Мы говорим, что простое число р входит в канониче ское разложение целого п с показателем k, если рк\п
и рк+хI п1\
Лемма. Показатель, с которым простое число р вхо дит в т!, равен
т |
+ |
•••» |
|
+ |
|
||
Р |
|
|
|
причем последний ряд конечен, |
так |
как |
[ х ]= 0 для |
0 < х < 1 . |
|
|
|
Среди чисел 1, 2,..., m имеется точно [m/р] |
кратных р, |
||
аименно
ИМы будем говорить также, что простое р входит в п с показа телем 6 .— Прим, перев.