Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

94 Г л. VII. Теорема Чебышева

р, 2р,...,

т

 

(12)

 

. р . р,

 

точно [т/р2] кратных р2, а именно

 

 

Р\ 2р2......

т

р2

(13)

. р2

 

и т. д. Число целых чисел между 1 и т, которые делятся на рг, но не делятся на pr+i, в точности равно [т/рг] —

—[т/рг+1]. Следовательно, простое число р входит в т\

споказателем

(и)

Г>1

г> 1

лемма доказана.

 

Для того чтобы доказать неравенство (8), рассмотрим

целое число

 

у . /2»\

(2я)1

I п )

(л!)* '

Пусть р — простое число, р ^ 2 п . Тогда р входит в числи­ тель N с показателем

а в знаменатель — с показателем

2

Таким образом, р входит в N с показателем

и, следовательно,

N = n p V

р<Лп

Поскольку Г

2п ]

п

.

Рг .

- р г .

самое, при

 

 

= 0 при рг> 2 п , или, что то же

§ 2. Теорема Чебышева

95

log2n " Г > L iogp J

мы имеем

М Р

 

log2п

 

—

2

(15)

logр Г

ГЧт=я1 \

 

 

 

 

 

Кроме того, для любого действительного числа у

 

[ У ] < У < [ У ] + h

или

2 | > ]< 2 г /< 2 [> ]+ 2

 

и

 

 

 

[2 у ]^ 2 у < [2 у ] + 1.

 

Отсюда следует, что — 1 < [2г/] —2[у] < 2 , откуда

 

[2у]— 2 [г/] = 0,

или

[2р] —2 [г/] = 1.

(16)

Следовательно, используя соотношение (15), мы полу-­ чаем, что vp^M p и тогда

N = П p vp < П р м р

(17)

р «2 л

р<2л

•

С другой стороны, из (5)

и (15) мы имеем

Ч><2" ) =

 

lo g P = S M p logp ,

 

Iogp

 

р<2л

 

так что

 

 

 

е * (2л)

= П р \

 

 

р<2п ■

откуда в силу (17)

logiV^aj)(2rt).

Далее, из (9) следует, что

log N > 2 n log 2 ~ lo g (2 n + l).

Следовательно, для любого положительного целого чис­ ла п мы имеем

ij3(2n)

> 2 n log 2— lo g (2 n + l).

(18)

Пусть теперь

х > 2 — действительное число,

и пусть

96

Г л. VII. Теорема Чебышева

 

 

п = [х /2 ]^ 1 . Тогда п > ( х /2 ) — 1, 2 п ^ х ,

и из (18)

мы по­

лучаем

 

 

 

 

ф (*)

(2п) > (х—2) log 2 —log ( х + 1),

 

или

> Х — 2 .

 

 

 

Ф(*)

2 _ log(X+

1)

 

X

X

X

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

Х - * .о о

X

 

 

и теорема 3 доказана.

 

 

 

Из теоремы 3 сразу же следует, что

простых

чисел

бесконечно много и что ряд ]£ ljp, распространенный на

все простые числа, расходится.

Действительно, пусть рп означает п-е простое число. Тогда я (рп) = п , и так как

п ( х ) > а --~— , а > О, logл:

для достаточно больших х, то

п = п(рп) > а - - £ * - > У р п logРп

для достаточно больших значений п. Следовательно, log рп< .21og п, так что

арп< п

log рп< 2 п log п

 

 

 

со

для достаточно больших п. Сравнивая ряд

11рп с рас-

со

 

п = \

 

 

ходящимся рядом ][]

1/nlogn, мы видим, что ряд

п= 2

оо

У] 11рп также расходится.

П—1

§ 3. Постулат Бертрана. Следующая теорема была сформулирована Бертраном и впервые доказана Чебы­ шевым.

§ 3. Постулат Бертрана

97

Теорема 4 (постулат Бертрана). Если п — положи­

тельное целое, то существует простое число р, такое, что

п < .р ^ 2 п .

Доказательство Чебышева этой теоремы основано на соображениях, подобных тем, которые были использо­ ваны при доказательстве теоремы 3. Этот результат сна­ чала был доказан для больших значений п, а для малых значений п проверялся с помощью таблицы простых чисел.

Мы приводим здесь доказательство, предложенное С. С. Пиллаи, которое довольно просто, поскольку не использует формулу Стирлинга для Г(м) и сводит число проверок к минимуму.

При доказательстве теоремы Чебышева мы использо­

вали для

биномиального

коэффициента N =

^ 2п j не­

равенство

(9), а именно

 

 

 

22П

< N < 22л,

 

 

2п -f- 1

 

 

и вывели из него неравенство (11), а именно

 

 

■0(2m) < 2 m+1 log 2.

(11)

Для доказательства того,

что неравенство (11)

выполня­

ется не только для степеней числа 2, но также для всех положительных целых чисел п, т. е.

 

ft(n) < 2 n

log 2,

1,

(19)

нам потребуется более точная оценка

 

 

02П

02П

п > 2.

(20)

 

- = - г < N <

 

 

2 V n

 

\/Л2п

 

 

Доказательство оценки (20).

Положим

 

 

р

_

1-3-5.. ,(2п — 1)

 

 

 

~

2 - 4 - 6 . . .

(2ге)

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

р _

1-3-5...

(2п— 1)

2-4-6...( 2 п ) _

(2ч)!

_

2-4-6...

(2л)

’

2-4-6.\.(2п) ~~

22п («!)= ’

7— 870

98

Гл. VII. Теорема Чебышева

мы имеем 22п P — N. Очевидно, что справедливо неравен­ ство

1>

_ 1_

1 22

которое может быть переписано в виде

1 >

1-3

3-5

5-7

(2п— 1)(2ге+ 1)

22

4 2

62

(2л)2

 

 

или в виде

1 > (2/г + 1) Р %> 2 п Р 2 = - ^ r N\

Отсюда следует второе неравенство в оценке (20). Подобным же образом мы имеем неравенство

(2п— I)2

которое может быть записано в виде

1>

2-4

\ /

4-6

\ /

6-8

\

/

(2л—2) 2га

\

З2

Д

52

/ ’ \

72

) " ' [

(2 л — I)2

}

или в виде

 

 

 

1

 

2in

 

 

 

 

 

1 >

 

 

 

 

 

 

4пР2

 

4nN2

 

*

 

Отсюда следует первое неравенство в оценке (20). Та­ ким образом, оценка (20) доказана.

Доказательство неравенства (19). Неравенство оче­ видно для п = 1 и п = 2. Предполагая неравенство спра­ ведливым для некоторого 2, мы выведем отсюда, что 0 (2/г— 1) <Г2 (2«— 1) log 2, откуда будет следовать соот­ ношение

0 (2 п) = 0 (2 п— 1) < 4 n log 2.

Рассмотрим целое число

_Л/_

_1_ /2л\ _

(2л)!

_ я ____ (2л — 1)!

_

/2л — 1\

2

2 \ я j

(л!)2 ‘

2л “ я! (л — 1)!

“

\ я — 1/'

Оно делится на все простые р, такие, что

п < р ^ 2 п — 1,

а следовательно, и на их произведение.

Значит,

т> П р

п < р < 2 п —1

Смотрите также файлы