Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
§ 3. Постулат Бертрана |
99 |
или, после логарифмирования,
log -у- ^ О (2га — 1) — О (га).
Но из (20) мы имеем
log N < 2га log 2 -----log 2га.
Объединяя оба эти неравенства, получаем
0 (2 га — 1) — О(га) < (2га — 1)log2 -----log2га.
Но по предположению О(га) <2га log 2. Следовательно,
О (2га — 1) < 2га log 2 + (2га — 1) log 2 -----j log 2га,
откуда следует, поскольку га^2, что
0(2п — 1) < 2 (2га— 1) log 2,
т. е. мы пришли к искомому неравенству. Таким обра зом, если (19) доказано для некоторого положительного целого числа га^ 2 , то оно будет выполняться также и для 2га— 1, а следовательно, и для 2га. Другими сло вами, если 0(ra)< 2ralo g 2 для каждого целого числа из интервала вида
2’- I< r a ^ 2 r, |
si, |
то это неравенство справедливо также для всех целых га из интервала
2r<ras^2r+I.
Отсюда по индукции следует, что неравенство (19) спра ведливо для всех га^1.
Неравенства (19) и (20) потребуются нам при дока зательстве теоремы 4.
Доказательство теоремы 4 (С. С. Пиллаи). Для того чтобы доказать теорему 4, мы докажем неравенство 0,(2га)—О(га) > 0 для всех га^26 и проверим это неравен ство для 1 ^ г а < 2 5.'
7*
100 Г л. VII. Теорема Чебышева
Рассмотрим снова |
биномиальный |
коэффициент |
|
(см. (17)) |
|
|
|
N = 2п |
(2л)!. |
П р >= |
|
|
(л!)2 |
|
|
где |
|
р<2л |
|
|
|
|
|
он |
|
|
|
Тогда |
|
|
(21) |
log N = S V |
0SP- |
||
р<2/1
Впоследней сумме интервал суммирования по р мы ра зобьем на четыре интервала:
(i)n < p < 2n ; |
, ■ |
Ом |
5; |
|
(ii) 1' 2/z < р < |
у , |
|||
(ii) — |
< p < n ; |
(i v ) p < ] /2 n . |
|
|
3 |
|
|
|
|
В соответствии с этим указанная сумма разобьется на
четыре суммы S i. |
£ 2 , |
£ 3 , £ 4 . |
|
|
|
|
|
||||
В |
S i |
мы имеем п /р < 1 |
и 1=<2п/р<2, так что [п/р] = |
||||||||
= 0, |
[2п/р]=\ |
и |
[2п/р2]= 0 . Следовательно, vP = |
l, |
и мы |
||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S i = |
£ |
vp l°g P = |
£ |
logp = |
ft(2n) — ft (я). |
(22) |
||||
|
|
л < р < 2 я |
|
|
л < р < 2 я |
|
|
|
|
|
|
В S 2 мы |
имеем |
1<]п /р<;3/2, |
так |
что |
[п/р] = 1 |
||||||
и [2п/р] = 2 . Кроме того, |
[2п/р2] = 0 |
при |
и, следо |
||||||||
вательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
S 2 |
= 0, |
п5 >3. |
|
|
|
(23) |
|
В S 3 |
мы имеем |
и п/р2 < 2 п /р 2< |
1, так что vP = |
||||||||
= [2 |
я/р]—2[п /р ]=0и ли 1 |
(см. (16)). Следовательно, |
|||||||||
|
2 з < |
|
2 |
logp='0‘( ^ ) — -O' |
). |
|
|
||||
Но |
|
/ 2 л < р < 2 /3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 = я ( \/r2n ) log 2, |
||||
Ф (^2га) = |
S |
logp>log2 |
S |
||||||||
р < /2 л |
р < /2 л |
§ 3. Постулат Бертрана |
101 |
и поэтому |
|
|
|
|
£ з < д ( т |
) ~ я |
( / 2 ^ |
1о§2- |
<?4) |
В У] 4 мы используем неравенство Чебышева (см. (17)) |
||||
vp < |
Мр = |
log 2п ' |
|
|
и получаем |
|
. l°g Р |
|
|
|
|
|
|
|
^ Ц ^ 1о§ Р < 2 |
^ ^ - к ^ р = к ^ 2 л 2 |
L |
||
р</2л |
р < У 2 п |
|
P<Yin |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
2 •< л (1 2л ) log 2л. |
(25) |
|||
Объединяя соотношения |
(21) — (25), |
мы приходим |
при |
|
л ^ 5 к неравенству |
|
|
|
|
log N e tt (2л) — б (л) -f б [—■j — л ( |
2п ) (log 2 — log 2л), |
|||
которое можно переписать в виде |
|
|
||
б (2л) — б (л) > log N — б ( y j — л (К 2л ) log л. |
(26) |
|||
Покажем теперь, что ■б'(2л)—б1(л) > 0 для всех достаточ но больших л. Для этого нам потребуются три неравен ства:
(b) к ^ М > 2 л к ^ 2 — log (2 Vп)\
(c) л (л) К ~ - , если
Неравенства (а) и (Ь) являются следствиями нера венств (19) и (20) соответственно, а неравенство (с) следует из того, что каждое четное число, большее 2, яв ляется составным.
Из (а), (Ь), (с) и (26) мы получаем при л^г32
102 |
Г л. VII. Теорема Чебышева |
|
■О(2п) — й (п) > |
2п log 2— log (2 V п ) — |
|
|
— у log 2 ------- |
— log я. |
пли, что то же самое,
&(2п) — # (л )> ( у — l)lo g 2 — ( |/2n2-— - ) log п. (27/
Остается показать, что
^ L _ l ) l o g 2 - ( ] ^ + l ) l o g n > 0 |
(28) |
для всех достаточно больших п. Легко видеть, что нера венство (28) выполняется при п = 26. Докажем справед ливость этого неравенства для п > 2 6. Для этого перепи шем (28) в виде
у _ _3_ |
log« _ |
3 ^ 2 |
log Vj_ п _ |
0 |
(29) |
2 |
log 2 j |
log 2 |
у 4п |
|
|
и заметим, что при л у 26 (мы заменили п действительным переменным х) функции
л /2 х ___ — |
log* и |
3 ^ 2 |
lpg ^ 4х |
2 |
log 2 |
log 2 |
j / y |
имеют положительные производные. Значит, в указанной области эти функции возрастают, и так как их сумма по ложительна при х = 26, то она будет оставаться положи тельной и при х > 2 6. Следовательно,
Ф(2п) —й(п) |
> 0 , п ^ 2 6, |
(30) |
т. е. постулат Бертрана |
справедлив |
при п ^ 2 6 = 64. |
Далее, в последовательности |
|
|
2 ,3 ,5 ,7 ,1 3 ,2 3 ,4 3 ,6 7 |
(31) |
|
каждое простое число, за исключением первого, будет меньше удвоенного предыдущего. Следовательно, каж дому положительному целому числу 66 соответству ет по меньшей мере одно простое число р, такое, что
|
§ 4. |
Тождество Эйлера |
103 |
|
«< [р ^ 2/г. Таким |
образом, теорема 4 полностью |
дока |
||
зана. |
|
|
|
|
§ 4. Тождество Эйлера. |
Тождество |
|
||
2 |
4 |
= |
П (1 - р ~ Т \ |
(32) |
Л=1 ” Р
где s > l — действительное число и р пробегает все про стые числа, является частным случаем следующего ре зультата:
Теорема 5. Пусть f — мультипликативная арифмети-
со
ческая функция и ряд У, f(n) абсолютно сходится. Тог-
п=1 да имеет место тождество
2 К « ) = |
П (1 + /( р ) + /(р 2) +•••). |
(33) |
п— 1 |
р |
|
причем произведение в правой части также сходится аб солютно.
Далее, если f вполне мультипликативна, т. е. f(mn) —
= f(m )f(n ) для всех положительных целых чисел пг, п, то
£ |
Н п )= П ( 1 - / ( р ) Г 1- |
(34) |
л= 1 |
р |
|
Доказательство. Из мультипликативности функции f Мы имеем f (1) = 1. Положим
^ (*) = П (1 + Ж + / И + . •.).
р < х
Так как Р (х) является произведением конечного чис ла абсолютно сходящихся рядов, то, перемножив эти ря ды, мы получим
Р(Х) = £ f ( n ') ,
где п' пробегает все положительные целые числа, кото рые не имеют простых делителей, больших х. Положим
со
s = £ /( « ) • . я=1