Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
104 Г л. VII. Теорема Чебышева
Тогда
P ( x ) - S = - '£ f ( n " ) ,
где а" пробегает все положительные целые числа, имею
щие |
по |
меньшей мере один простой делитель, боль |
|||||||||
ший |
х. |
Очевидно, п " > х , так |
что |
|
|
|
|
||||
|
|
|
\ P ( x ) - S \ < y i \f(n")\<'£\f(n)\. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
П > Х |
|
|
|
|
Далее, |
S |
|f(n) |-> 0 при х->-оо, так как |
по предположе- |
||||||||
|
П > Х оо |
|
|
|
|
|
|
Пт Р(х) = |
|||
нию ряд |
|
S |
|/(п)| сходится. Следовательно, |
||||||||
|
|
|
П=1 |
|
|
|
|
|
|
Х-+со |
|
= S и тем самым тождество (33) |
доказано. |
|
|
|
|||||||
Произведение в правой части равенства |
(33) |
сходит |
|||||||||
ся абсолютно, поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
||||
S i f(p) + |
f и |
+ . .. I -< S |
(I / (р) I |
+ |
1f и |
1+ |
. . . х |
|
|||
р X |
|
|
|
Р |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
S 1 / И ( < |
°° • |
(35) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
п— 2 |
|
|
|
|
Рассмотрим теперь случай, когда / вполне мульти пликативна. Из (35) мы видим, что ряд
S (I / (р) I + 1/ (р2) I + ••■).
где суммирование ведется по всем простым р, сходится. Но тогда }{рп) = (/(р ))” и, следовательно, ряд
S ( l f ( p ) l + l f ( p ) l 2+ ...)
р
тоже сходится. Члены последнего ряда образуют геомет рическую прогрессию, откуда |/(р )| < 1. Значит,
Е /(«)= П(1 + / ( р ) + / ( р2)+ ...) =
Л= 1 Р
= П (1+ / ( рЖ /( р))2+ |
••■)= П о — / ( р )) -1. |
р |
р |
и теорема 5 доказана. |
|
§ 4. Тождество Эйлера |
105 |
Тождество Эйлераследует теперь из (34), если мы положим f(n) —ti-s, s > l . Пусть
е<»> = II |
- П О |
л —1 |
Р |
где s > l действительное. Тогда
log S (s) = — Ц log (1 — P~s) = |
X ^ 1 7 • |
P |
m ,p |
где p пробегает все простые числа, a m пробегает все по ложительные целые числа. Почленное дифференцирова ние даст нам
С' (s) _ |
у |
p~s logР _ |
у l£g£ |
SW |
Ь |
1 - p " s |
Ь Pms ' |
|
Р |
|
m .p |
Следовательно, при действительном s > l
S' (s) _ |
у |
А (в) |
(36\ |
ns) |
^ |
ns Э |
|
. |
п—1 |
|
|
где А ( п ) — функция Мангольдта, определенная |
в § 5 |
||
гл. VI. Заметим, что почленное дифференцирование до |
|||
пустимо, поскольку оба ряда^] log (l — p~s) и V —— |
|||
|
р |
р |
1 — p ~ s |
|
|
||
равномерно сходятся при s ^ l + 6 > l . |
|
||
Правая часть равенства |
(36) |
представляет собой ряд |
|
со |
|
|
|
Дирихле вида ^ апп~а, коэффициенты ап которого яв-
л=1
ляются значениями функции Мангольдта А (п). Исполь зуя равенство (36), мы покажем, что если какая-либо из функций
п (х) & (х) ip (X)
x/logx ’ X ’ X
имеет предел при jc-» -oo , т о э т о т предел должен быть ра
вен 1. Из теоремы 2 мы уже знаем,-что если какая-либо
106 |
Г л. VII. Теорема Чебышева |
из этих трех функций имеет предел при х-»-оо, то две другие функции также будут иметь пределы и все эти три предела равны между собой.
Рассмотрим функцию ф(Х)/х и воспользуемся соотно шением
ф(х) — У] Л (п).
П< Х
Вдальнейшем нам потребуется тождество
— |
= s Г ^ -^ -dx |
(s действительное, s > l), |
|
|
£(s) |
J * s+ i |
h |
которое |
можно |
получить |
из формулы суммирования |
Абеля. |
|
|
|
Теорема 6 (Абель). Пусть O^^sSC^sS^... — последова тельность действительных чисел, такая, что Хп-*-оо при n-э-оо, и пусть (ап), п = 1, 2,..., — последовательность
комплексных чисел. Пусть, далее, А (х) = У1ап и ц>(х)—
Xп <х
комплекснозначная функция, определенная при х^О . |
|
Тогда |
fc_| |
|
|
= ^ (Ч ) ч > Ы — |
е л |
Л=1 |
/1=1 |
Если ф имеет непрерывную производную на интервале
(0, оо) и x^X i, то (37) может быть записано в виде |
|
|
|
X |
|
£ о-пФ (К) = л (х) ф (х) — j' A (t) ф' (t) dt. |
(38) |
|
|
Я/j |
|
Если, кроме того, А(х)у(х)-*-0 при х->-оо, то |
|
|
£ апф (К) = |
— f A. (t) ф' (0 dt |
(39) |
л =1 |
X, |
|
при условии, что ряд в левой части и интеграл в правой
части сходятся.
§ 4. Тождество Эйлера |
107 |
Доказательство. |
Положим Л (А о)=0. Тогда мы |
||
имеем |
|
|
|
я>(К) - Е ( Л ( К ) - * ( Ч - ,) ) ф (Ч ) = |
|||
/1=1 |
|
|
|
= а ( \ ) ф(Ч)- 2 |
л { К ) (ф(V i )— ф(*•«)); |
||
|
л=1 |
|
|
тем самым равенство |
(37) |
доказано. |
Пусть k — наи |
большее целое число, |
такое, |
что А ь^х. |
Так как ф имеет |
непрерывную производную ф', то сумма в правой части (37) равна
k-1 |
1П+1 |
£ Л ( А л) |
j Ф' (t)di, |
n=i |
х„ |
а так как A (t) — ступенчатая функция, постоянная в ин тервале AfesSncAft+i, то первый член в правой части (37) равен
А (А*,) ф (Aft) = |
А (х) ф (х) — J A (t) ф' (/) di. |
Таким образом, |
|
2 апФ (К) = |
Л (х) ф (х) — j A (t) ф' (t) dt |
^п<х |
Я-1 |
и равенство (38) также доказано. Наконец, мы получим
равенство (39), если в . (38) устремим х к бесконечности. Теорема 6 тем самым доказана.
Положим Ап —п, ап« Л (л ) и у (х )= * х — (s действи тельное, s > l ) . Тогда A (x )*a ty (x ) и Л(Х)ф(х)->-0 при
х-^оо, поскольку ф( х ) ( х ) lo g х < х lo g х (см. доказа тельство теоремы 2 ), так что Л (х) ф (х) - О (х1-* log х ) -
= о(1). Следовательно, мы получаем из (36) и (39) при
действительном s > l |
|
|
£ Js) |
Ф(*) dx. |
(40) |
108 |
Г л. VII. Теорема Чебышева |
Теперь мы можем доказать следующую теорему:
Теорема 7.
lim
|
x!\ogx |
" x ^ x l l o g x |
|||
Доказательство. Покажем, что |
|
|
|||
|
х |
*-*■ “ |
х |
|
|
и затем воспользуемся теоремой 2. |
|
|
|||
Пусть |
f(s) —— —— |
для |
действительного s > l , |
||
и пусть |
S(«) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
lim ФМ |
|
|
х-*-00 х |
|
|
|
|
|
||
V = |
lim (s— l)f(s), |
и |
= |
lim(s— l)f(s). |
|
s - 1 + 0 |
|
s - 1 + 0 |
|||
Очевидно, |
l^ .L и I'^ L '. Докажем сначала, что |
||||
^ Z /^ L , |
а затем, что l' — L '= 1. |
Вместе эти неравенства |
|||
дадут утверждение теоремы 7. |
|
|
для всех х ^ Х а = |
||
Пусть |
В > Ь . Тогда |
ty(x)/x<zB |
|||
= х 0(В), и м ы можем предположить, |
что х0> 1 . Из фор |
||||
мулы (40) |
мы имеем при s > l |
|
|
|
|
Последнее неравенство можно переписать в виде
(s— l)f(s) < s ( s — l)K + sB ,
где
Хо
dx = K = K{x0) = K(x0,B ).
i