Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Скачать файл (5,40Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 96

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

	§ 4.		Тождество Эйлера						109
Пусть S-+1+0. Тогда мы получаем, что L '^ B ,									и так как
это неравенство	выполняется				для		любого		B > L , то
L'^.L. Аналогично можно доказать,							что		и потому
/s-S/'aSl's^L.		что
Покажем теперь,		что
	lim	(— (s— 1 )4 ' (s)) =						1
s—l+o
и
	lim		(s— 1)£ (s) =				1.
	s^l+9
Отсюда будет следовать,				что (s—l)/(s)-+l при S-+1+0,
а значит, и равенство Г — Ь '= 1.
Функция x~s при s > l				является убывающей функци-
ей переменного х., так что
со			оо
	dx	< х		-7 < 1+		Н
J		< х		-7 < 1+		Н
J				n s		J	дг
1			Л=1			1
Таким образом,
	S : Ь <			« 0 < , . !,•
откуда следует, что		(s— l)£ (s)-+ l				при s -v l+ 0 .
С другой стороны,			при s > l		и х ^ е			функция x~slog.v
также является убывающей по х, так что
	п = 1			1
				-1.
откуда после подстановки х,- 1= е* мы получаем
- £' (» = i r ^ r		j		+ °<» -				^	+ 0 <»•
Таким образом,
( s -	ОГО)		-	-		*		!
				(S— О? 00

при s -v l+О. Следовательно, l '= L '= 1, откуда Z ^ rl^ L .

no Гл. VII. Теорема Чебышева

Объединив этот результат с теоремой 2, мы получаем утверждение теоремы 7.

Из		теоремы 7			вытекает,		что если предел функции
гс ф —		при	х—>-оо		существует,		то этот предел должен
jc/log X
быть равен			1.
§	5.	Некоторые формулы Мертенса.
Теорема 8.				При х-+оо мы			имеем
у	МО =		log* + 0 (1 ),			£ ! ° * £ . = iog* + o n ) .		(41)
^		п				“	р
п<X				X		Р<Х
				X
				^ ^ - d t		= log л: + 0(1),		(42)
				1
			V	- L ^ l o g l o g . f c + O f - ^ ) ,				(43,

р < х

где С — некоторая константа.

Доказательство. Мы используем слабую форму фор мулы Стирлинга, а именно

log(m\)— mlogm-\-0(m)	(44)
при m-у оо. Из теорем 2 и 3 мы знаем,	что при m-у оо
г\|з(/п) = 0 ( т ) .	(45)

Далее, по лемме, полученной в ходе доказательства тео ремы 3, мы имеем

р<т

или

log (ml) — £ [ 7	logp	2	[т ]Л<">'	(46)
		2	[т ]Л<">'

pr <т

где A(n) — функция Мангольдта [см. (3)],

§ 5. Некоторые формулы Мертенса

111

Чтобы доказать (41), положим в формуле (46)

где 0гсСеп<1- Тогда, используя (45), мы имеем

log (m!) = ^	Л (я) + О (ш)
п<m
и, применяя (44),

£ = log m + 0(1).

" п

п<ш

Заменяя теперь целое число m действительным перемен ным х, мы получаем первую из формул (41). Вторая фор мула следует из неравенства

п<X	р<х	р<X
		^ V	[°g Р	< 00.
		^ р (р -1 )		< 00.
		^ р (р -1 )
Используя (45),		мы можем вывести из (41)		формулу
(42). Действительно, ф ( 0 = ^]Л (п),			и тогда	при х ^ \
X	X	n<t	х
X	X		х

п<х

Наконец, формула (43) может быть выведена из (41), если использовать формулу суммирования Абеля. Пусть (Рп) — последовательность простых чисел, занумерован ных в порядке их возрастания, и пусть

А (х) = £ а „ , гДе ая =	.
	Рп

Рп <-Г

112 Гл. VII. Теорема Чебышева

	В(х)		=	У Ьа,	где	Ьп =	— .
							Рп
Тогда по теореме 6 мы имеем при х^ .2
	В(х) =				А (х)	Г	А (и) du
	В(х) =			log Рп	log X	I	и (log и)2
				log Рп	log X	I	и (log и)2
		Р„<х
Далее, в силу второй из формул (41)							мы имеем А(х) =
= log x + B (x ),		где	\Е(х)\<,К для всех х ^ 2					при неко
торой постоянной К. Следовательно,
	Е (х )		Г'	du	Е ( и )
( * ) = ! +	log а:		,]	и logu	и (log и)2 du =
			О
= 1 +	7 ~	+	0 °g l°g x — loglog2) +					du.
	log*						J «(lo g u )2