Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
ГЛАВА VIII
ТЕОРЕМЫ ВЕЙЛЯ О РАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
ИТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА
§1. Введение. Мы видели в гл. III, что для любого заданного иррационального числа £ найдется бесконечно
много |
рациональных чисел |
plq, таких, что |£—p/q |< |
<_l/q2. |
Из этого результата |
следует теорема Дирихле |
о том, что каждому иррациональному числу £ отвечает бесконечно много пар целых чисел р и q, таких, что q% отличается от р на сколь угодно малую величину. Дей
ствительно, для |
данного е, |
0 < е < 1 , |
рассмотрим целое |
число 1 -f- [ 1 /е ]. |
Поскольку существует бесконечно много |
||
рациональных |
чисел plq, |
таких, что |
|q\,— p\<.l/q, то |
существует бесконечно |
много дробей plq со знаменате |
лями (/^sl + n /e ], Для |
которых \q%—p \ < l/q < e . |
Теорему Дирихле можно обобщить следующим обра зом. Если заданы иррациональное число 0, произвольное действительное число а и положительные действитель ные числа N и е, то существуют целые числа п и р, та кие, что
n > N и |п0 — р — а| < е.
Если а = 0 , то этот результат сводится к упомянутой вы ше теореме Дирихле. Если 0 < а < 1 и е — сколь угодно малое положительное число, то последнее неравенство означает, что дробная часть п0, а именно {« 0 }= п 0 —
— [п0], сколь угодно близка к а. Другими словами, чис ла ({пд}), п = 1 ,2 ,3 , ..., всюду плотны в интервале [0, 1].
Это обобщение теоремы Дирихле является частным случаем глубокого результата Г. Вейля о равномерном распределении, который будет доказан в этой главе.
Для рассмотрения вопросов, связанных с дробными частями действительных чисел, введем новые понятия. Два действительных числа Х\ и х2 называются сравни мыми по модулю 1, если их разность является целым числом. Отношение сравнимости по модулю 1 будет, оче видно, отношением эквивалентности, которое разбивает все действительные числа на классы эквивалентности,
8—870
114 |
Г л. VIII. Теоремы Вейля и Кронекера |
состоящие из действительных чисел с одной и той же дробной частью. Отображение x-+e2nix индуцирует вза имно однозначное соответствие между этими классами эквивалентности и точками единичной окружности.
§ 2. Равномерное распределение в единичном интер вале. Пусть 5 — конечное множество действительных чи сел cti, иг, ..., а<э, содержащихся в интервале [О, 1), т. е.
а^ ^ Ч:•
Для любых действительных чисел а и Ь, таких, чтч через ср(а, b) обозначим количество чисел а, содержащихся в интервале [а, Ь), т. е. количество чи
сел ад для которых
a ^ a j C b , 1 ^ /^ Q .
Величина
D ■sup jI Ф (а , Ь) - (b—a) |
(1) |
Ia.b) I Q |
|
называется отклонением множества S. Ясно, что 0 < D ^ 5^1. Если мы обозначим интервал [а, Ь) через /, его длину через |/| и ф(а, Ь) обозначим через ф(/), то (1) запишется в виде
|
D — sup Ы Л _ 1/| |
(1)' |
|
Q |
|
Для бесконечной последовательности действительных |
||
чисел сбь « 2 , |
... из интервала [0, 1) через Dn обозначим |
|
отклонение |
первых п членов этой последовательности. |
|
Мы назовем последовательность (от,-) равномерно рас пределенной, если Dn->-0 при п->оо.
Пусть фп(а, & )= ф „(/) — число тех a,j, для которых
a^.a,j<.b при K /s g n . |
Из определения следует, что ес |
ли последовательность |
(аД равномерно распределена |
в интервале [0, 1), то |
|
п |
(2) |
|
при оо для каждой пары действительных чисел а п Ь, таких, что 0 ^ а < й ^ 1 . Справедливо и обратное утверж
§ 2. Равномерное распределение в единичном интервале |
Ц5 |
дение: если (2) выполняется для каждого такого интер вала [а, Ь), то последовательность (а3-) равномерно рас пределена.
Действительно, разобьем интервал [0, 1) на конечное число подинтервалов (Д ), каждый из которых имеет длину б, 0 < 6 < + Д л я любого данного интервала [с, d), где 0=е+<Д =^1, обозначим через г число интервалов Д длины б, лежащих внутри [с, d). Их общая длина равна гб, и мы имеем гб > (d—с )—26. Далее, если через г' мы обозначим число интервалов Д, пересекающихся с [с, d),
то r'6 < .(d —с )+ 26 .
Поскольку (2) выполняется для каждого интервала [а, Ь), то оно должно выполняться, в частности, для ин тервала Д длины б. Таким образом, для заданного е > 0 существует число Д (е), такое, что
б — е < |
< б + е |
п
для всех п > Д (е ) и всех k. Выберем е = б 2. Тогда мы по лучим
( 1 _ б ) б < 5 ^ < ( 1 + 6 ) 6
для всех п > Л // (б). |
Следовательно, |
|
гб(1 — б )< — |
£ |
< |
п |
“ |
п |
|
Ik(Z\c,d) |
|
|
|
< f S ф„ ( Д ) 0 '6 ( 1 + 6 ) |
для всех п > М '(б ), |
откуда |
|
((d _ с) - 26) (1 - |
б) < |
(e’ d), < ( ( d - c ) + 26) (1 +б). |
|
|
П |
Так как d— с ^ 1 , то для любого интервала [с, d )C [0 , 1)
Фя (с, d)
•(d — c) < 36 + 262,
116 |
Г л. VIII. Теоремы Вейля и Кронекера |
при n^>N'(6) и при 6, не зависящем от этого интервала. Таким образом, £>„-И) при п->-оо. Итак, доказана
Теорема 1. Бесконечная последовательность действи тельных чисел (щ ), t'= l, 2, ..., таких, что 0 ^ а , < 1 , рав номерно распределена тогда и только тогда, когда
п
при п-^-оо для каждой пары действительных чисел а и Ь, где Здесь <рп(а, Ь) есть число тех а,, кото рые удовлетворяют неравенству a ^ a j< b при 1 ^ /^ п .
Заметим, что равномерно распределенная последо вательность (о») всюду плотна в единичном интервале
[О, 1).
§ 3. Равномерное распределение по модулю 1. Беско нечная последовательность действительных чисел (сбг),
не обязательно содержащаяся в единичном интервале,
называется равномерно распределенной по модулю 1, ес ли соответствующая последовательность дробных частей ({« ,}) равномерно распределена в том смысле, как это было определено в § 2. Таким образом, если Dn есть от клонение, как и в § 2, первых п членов последовательно
сти ( { а ,}) , |
то Dn-*~0 при п >-оо. Мы покажем, что это |
||
условие имеет |
другую эквивалентную формулировку |
||
в терминах |
нового понятия — |
отклонения по модулю 1 . |
|
Пусть |
дано |
множество |
S действительных чисел |
ось 0 2 , .... aq, и пусть Т — это множество действительных
чисел (ой + 0 >гДе a t пробегает все целые чис ла. Для любой пары действительных чисел а и Ь, таких, что 6 > а , обозначим через ф*(а, Ь) число элементов
множества Т, содержащихся в интервале [а, Ь). Тогда
Ф* (<*+*, *+*)-Ф*(а, |
Ь) |
(3) |
|
для любого целого числа t. |
Далее, |
|
|
Ф*(а, Ь) =ср(а, Ь), |
если 0 ^ а < 6 ^ 1 , |
(4) |
|
где ф(а, Ь) определена для |
({o ft} ) , |
так |
же, как |
в § 2. |
|
|
|
§13. Равномерное распределение по модулю 1 |
117 |
Отклонением по модулю 1 множества S мы назовем величину
D* |
sup |
Г ± 1 » - ( Ь- а ) |
(5 ) |
|
О< b— a< 1 |
Q |
|
В последнем выражении а пробегает все действительные числа, но в силу (3) мы можем предполагать, что 0=^1
Если D — отклонение дробных частей чисел множест ва S, то из (1), (4) и (5) очевидным образом следует, что D ^ D *. С другой стороны, мы имеем D *^ 2D . Дейст
вительно, |
|
так как любой интервал [ |
а, Ь), где 0 ^ а < 1 |
и b— а ^ 1 |
, |
может быть представлен в |
виде объединения |
не более двух непересекающихся интервалов, каждый из
которых |
имеет вид [а', Ь'), где или |
или |
1 |
то |
|
Ф*(а, й ) = £ Ф*(a ',b '), b—а = £ |
(&'—а'), |
|
где каждая из сумм состоит не более чем из двух членов,
и тогда, согласно (1), |
(3) и (4), |
|
|
Ф* ( а, Ь) |
(Ь—а) |
ф* (а'.Ь') |
Ф '- а ') < 2 D. |
|
|
||
Следовательно, D *^ 2D .
Таким образом, для данного множества S действи тельных чисел (aj), l ^ / ^ Q , мы определили, во-первых, отклонение D множества их дробных частей ( { а 3}) и, во-вторых, отклонение D* множества S по модулю 1 и по казали, что
D ^ D *^ 2 D . |
(6) |
Пусть (оя) — бесконечная последовательность дейст вительных чисел, не обязательно содержащаяся в единич ном интервале. Обозначим через Dn отклонение первых п членов соответствующей последовательности дробных ча стей ( { a i } ) , а через D* — отклонение по модулю 1 первых
п членов этой последовательности. Из (6) следует, что если Dn-v 0 при /г->оо,то и £>*-»-0 при п~*~оо, и обратно.
Таким образом, нами доказана