Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Теорема 2. Бесконечная последовательность действи­ тельных чисел (а,) равномерно распределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда ZT ->- 0 при п-+-оо, где D* —

отклонение по модулю 1 первых п членов этой последова­

тельности.

§ 4. Теоремы Вейля.

Теорема 3. Пусть (а 3-) — бесконечная последователь­ ность действительных чисел, такая, что O ^ ccjC l при / = = 1, 2, ... . Для того чтобы последовательность (а,) бы­

ла равномерно распределена, необходимо и достаточно,

чтобы выполнялось соотношение

П1

для любой интегрируемой no Риману на отрезке функции f.

Доказательство. Мы можем считать функцию f дей­ ствительнозначной — в противном случае можно отдель­ но рассмотреть ее действительную и мнимую части.

Достаточность условия (7) доказать нетрудно. Для

и, значит, по теореме 1 последовательность (ос,-) являет­ ся равномерно распределенной.

Обратно, если (aj) равномерно распределена, то име­ ет место соотношение (9), и тогда (7) выполняется для

содержащегося в интервале [0, 1], а в силу линейности

(7) выполняется для любой ступенчатой функции на [О, 1]. Если функция f интегрируема по Риману на от­

так что при достаточно большом п

П1

Y У h К ) > jf(x)dx — 2е.

У f («/,) > |f(x)dx — 2е.

Аналогично, для достаточно большого п

п1

f K ) < j f(x)dx + 2е.

1 о

Таким образом, для достаточнобольших значений п мы имеем

П1

Уf ю — j f (х)dx < 2е,

и этим соотношение (7) доказано для каждой интегри­ руемой по Риману на отрезке [0, 1] функции.

Теорема 4. Пусть (Pj) — бесконечная последователь­ ность действительных чисел, не обязательно содержа­

щаяся в единичном интервале. Для того чтобы последо­ вательность (|3j) была равномерно распределена по мо­

дулю 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось со­

отношение

для каждого целого тфО, где i2 = — 1.

Доказательство. Пусть (Pj) равномерно распреде­ лена по модулю 1, и пусть aj обозначает дробную часть р,-. Тогда последовательность (от,) равномерно распреде­ лена в единичном интервале. Если мы возьмем f(x) — = е1л1тх, где т целое и т ф 0, то из теоремы 3 вытекает соотношение

а так как аи отличается от Рл. на целое число, это озна­ чает, что справедливо соотношение (10).

Обратно, если (10) выполняется для каждого целого

т ф 0, то

П

Нт — У е2л£т“л = 0. h=l

Покажем, что в этом случае условие (7) будет выпол­ няться для каждой интегрируемой по Риману на отрез­ ке [0, 1] функции. Очевидно, (7) имеет место для f(x) = = 1 и по нашему предположению для f ( x ) = e 2ltimx, где т — целое число, отличное от нуля. Тогда оно будет вы­ полняться также для любого тригонометрического поли­ нома вида

а0+ (ахcos 2яx+ bLsin 2ял:)-\-------1-(атcos 2птхфЬтsin2лтх),

где О; и Ьг — константы. Далее, любая непрерывная пе­ риодическая функция / с периодом 1 может быть ап­ проксимирована тригонометрическим полиномом такого

и\ (f2 (x)—fi{x))dx = 2s. Так же, как при доказательств

о

ве теоремы 3, мы получаем отсюда, что условие (7) вы­ полняется для любой непрерывной периодической функ­ ции с периодом 1. Ограничимся теперь основным интер­ валом [0, 1]. Для любой ступенчатой функции f на от­ резке [0, 1] можно найти две непрерывные периодиче­ ские функции f1 и /2, такие, что

иИ М *) — h ( x ) ) d x < г.

о

Следовательно, (7) выполняется для любой ступенчатой функции f, определенной на отрезке [0, 1], а тогда, как было показано выше, оно будет выполняться для любой интегрируемой по Риману на отрезке [0, 1] функции. Теорема 4 доказана.

В качестве приложения теоремы 4 докажем следую­ щий результат:

Теорема 5. Если - любое иррациональное число, то бесконечная последовательность (rag), п = 1, 2, ..., рав­ номерно распределена по модулю 1.

Доказательство. Пусть от — целое число, отличное от нуля, и пусть от|=гП окаж ем , что

Число т) действительное и, поскольку g иррационально, не целое. Тогда мы имеем

П