Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
122 |
Г л. VIII. Теоремы Вейля и Кронекера |
так что
Um — У е2Я1'Лт) = 0(
П^оо П ^ 1
и из теоремы 4 теперь следует, что последовательность (п%), п — 1, 2, равномерно распределена по модулю 1.
Следствие. Если g — иррациональное число, то после довательность дробных частей ({п |}), п = 1 , 2, всюду
плотна в единичном интервале.
Понятие равномерного распределения можно распро странить на пространства высших размерностей. Пусть
{РЩ — бесконечная |
последовательность точек р-мерно- |
||||||||
го |
евклидова пространства, |
где |
р ^ 1 , |
и |
пусть |
||||
(X ji, |
X j2, |
..., |
X jP ) — |
координаты |
точки |
Р & . |
Пусть a jr |
||
обозначает |
дробную |
часть х3>, |
а именно |
{xir}, |
так что |
||||
0 ^ с с д < 1 |
для |
Если через {РО')} мы обозначим |
|||||||
вектор дробных частей ({хц}, {х3-2}, ..., |
{XjP } ) , |
то точка |
|||||||
{Р(Л} |
будет лежать в единичном кубе 0 ^ х 3< ;1, |
1 ^ /г ^ р . |
|||||||
Обозначим, наконец, через V прямоугольник, лежащий в единичном кубе и являющийся декартовым произведе нием р интервалов, а через |К|— его меру (Лебега), равную произведению длин соответствующих интерва лов. Мы говорим, что бесконечная последовательность
(Р<Л) равномерно распределена по модулю' 1 тогда и только тогда, когда соответствующая последователь ность ({P (j)}) равномерно распределена в единичном ку бе, т. е. тогда и только тогда, когда
Нт 2дЕ1 = |Е|
п
для каждого прямоугольника V, содержащегося в еди ничном кубе, где срп(У) означает число точек среди пер вых п членов последовательности ({Р^}), содержащих ся в У. В одномерном случае это эквивалентно утверж дению, что
sup УЯ^ ___ ||/| -> 0 v п
при п->оо.
§ 5. Теорема Кронекера |
123 |
Теорема 5'. |
|
Последовательность {Р<Л} равномерно |
|
распределена |
в |
единичном |
кубе тогда и только тогда, |
когда |
|
П |
|
|
|
|
|
lim _L |
V e2nilmiahi+m2ah2+ --+mpahp] = о |
||
Д->СО П ^ |
|
||
|
|
1 |
|
для каждого |
набора целых |
чисел ( т ь т 2, ..., пгр) ф |
|
ф(0, 0 .....0 ). |
|
|
|
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель ству в случае одной переменной. Отметим только, что «ступенчатая функция» может быть аппроксимирована, например, дважды непрерывно дифференцируемыми функциями, которые имеют равномерно сходящиеся ря ды Фурье.
В качестве следствия мы получаем отсюда обобще ние теоремы 5:
Теорема 6. Пусть gt, g2, •••, £р — действительные чис ла, такие, что gb g2, % р, 1 линейно независимы над
кольцом целых чисел (т. е. не существует линейного со-
р
отношения вида У /jgj= l, где I и lj — целые числа и
/=!
(/ь /2, ..., 1Р, I) ф (0, 0, ..., О, 0). Тогда последовательность ng=(ngi, rcg2, ..., ragp), п = 1, 2, ..., равномерно распреде лена по модулю 1.
§ 5. Теорема Кронекера. Из теоремы 6 следует, что пос ледовательность ({ng}), где {nl} = ({ftgi}, {ng2} , ..., {ngp}),
всюду плотна в единичном кубе. Этот результат, пред ставляющий собой содержание теоремы Кронекера, яв ляется обобщением на пространства высших размерно стей теоремы, упомянутой в § 1, и может быть сформу лирован следующим образом:
Теорема 7. Пусть 0ь 02, ..., 0ь, 1 — действительные числа, линейно независимые над кольцом целых чисел, сц, а2, ..., аь — произвольные действительные числа и N, е — положительные действительные числа. Тогда суще
124 Г л. VIII. Теоремы Вейля и Кронекера
ствуют целые числа п и ри р2, ..., ри, такие, что
|
U |
IV U | flQrn |
Pm СЛт | в |
для всех пг = 1,2, |
k. |
|
|
|
Приведем теперь другой вариант этой теоремы: |
||
ла, |
Теорема 8. Пусть 0ь 02, |
•••, 0ft — действительные чис |
|
линейно независимые |
над кольцом целых чисел, |
||
«ь |
аг, ..., ай — произвольные действительные числа и Т, |
||
е — положительные действительные числа. Тогда суще ствуют действительное число t и целые числа pi, р2, ..., ph,
такие, что |
|
|
|
|
t > T |
U | tQm |
pm Km|<C£ |
для всех m = |
1, 2, |
k. |
|
Покажем, |
что |
теорема |
7 эквивалентна теореме 8. |
Предположим, сначала, что справедлива теорема 8, и вы ведем из нее теорему 7.
Чтобы доказать теорему 7 в приведенной выше фор
мулировке, достаточно доказать |
ее для О <0т=^1, где |
|
1 |
Действительно, если 1, |
0ь ..., 0ь линейно неза |
висимы над кольцом целых чисел, то числа 1, 0Р ..., 0ft, где 0у = 0 j —qj и (<7 j) — подходящие целые числа, также
будут линейно независимы. Кроме того, из неравенства |nQm—p’m ■—a m| < £ при целом p'm следует неравенство |п0т—Pm— am|< £, где Pm = Pm+nqm. Предположим по
этому, |
что |
О < 0 т ^ 1 при lz^m^Lk, O C e C l и что |
0 1 , 0 2 , |
..., 0ft, |
1 линейно независимы над кольцом целых |
чисел. Тогда по теореме |
8 с k + 1 вместо k, N +1 вместо Т |
и е/2 вместо е, примененной к наборам |
|
0 1 , 0 2 , •••, 6ft, |
1 и -ai, а2, .... aft, О, |
существуют такие целые числа ри р2, ..., pk+i и действи тельное число t, 1, которые удовлетворяют нера венствам
|^0m Pm CCm|*<l£/2, |
1, 2, .,,, k, |
И
|^—Рй+1|< е /2 .
|
|
§ 5. Теорема Кронекера |
125 |
||||
Так как |
|
и е < 1 , из последнего неравенства сле |
|||||
дует, что ph+i^t— е /2 > А , |
а так как О < 0 т ^ 1 , |
то |
|||||
|Pft+10m |
Рт |
Общ| |
|tQm—Pm,—06m|“b| (Pk+l— |
|
|||
|
|
^ |
|tQm~ |
pm—’CCm|-)- |pk+l—t |<Ce |
|||
при всех m = 1, 2, |
k. Отсюда следует справедливость |
||||||
теоремы 7, |
если положить п = рк+\. |
|
|||||
Обратно, будем |
считать |
справедливой теорему 7 |
|||||
и докажем теорему 8. |
Если k=\, то теорема 8 очевидна. |
||||||
Предположим, |
что |
£ > 1 . |
Далее, |
достаточно доказать |
|||
теорему для 0m>O , т = 1, |
2, |
..., k. |
Пусть 0Ь 02, |
.... 0& ли |
|||
нейно независимы над кольцом целых чисел. Тогда числа
01 |
0? |
0ft—i |
, |
0ft ’ |
0fc |
вк |
’ |
будут также линейно независимы. Из теоремы 7 с Л/= = Г0й, примененной к наборам чисел
01 |
02 |
б*—1 |
И а 1> а 2,--ч a k—1 , |
■д- |
> "7Г~ ’ ■••’ '"о |
||
следует существование целых чисел ри р2, ..., pu-i и п, n~>N, таких, что
я ~ - Р т — |
< е, |
т = |
1,2,..., k — 1. |
Oft |
|
|
|
Положим теперь t= ti/Qk. |
Тогда t^>T |
и |
|
[ tQrn' Pm CCm j |
в , |
№ = |
2 , ..., k — 1 . |
Кроме того, очевидно, что |
|
|
|
\t$h—n\ < е ; |
|
||
и мы получаем утверждение теоремы 8 для наборов чисел
0ь 02, ..., 0ft й oci, а 2, ..., ocft_i, 0.
Аналогичным способом мы можем доказать теорему 8 для наборов
0ь 02, 0ft и 0, 0, ..., 0, as.
Отсюда мы можем заключить, что теорема 8 справедли ва для наборов чисел 0j, 02, .... 0ft и а ь а2, .... as.
126 |
Гл. VIII. |
Теоремы |
Вейля и Кронекера |
|
Действительно, |
если |
разность |
между tQm и ат сколь |
|
угодно |
мало |
отличается от |
некоторого целого числа, |
|
а разность между t'Qm и рт также сколь угодно мало от личается от целого числа, то разность между
и ocm+pm обладает тем же свойством. Таким образом, эквивалентность теорем 7 и 8 доказана.
Дадим теперь доказательство теоремы 8, предложен
ное Бором. |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
теоремы 8. Если с — действительное |
||||||
число, Т > 0 и |
i2 = — 1, то |
|
|
||||
|
|
|
т |
|
0, |
если сфО, |
|
Нш |
|
у |
j eCitdt |
|
|||
|
1, |
если с = 0. |
|
||||
Т СО |
|
о |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если cv — действительные числа и |
|
||||||
X(0 = |
|
г |
|
Cvlt> cm=hcn при т ф п , |
(ID |
||
|
И V |
||||||
|
|
V-=l |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
U |
(t)e |
lidt = bv. |
( 12) |
|
|
T-*■O1 |
J |
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
F (t) = |
1 + |
£ |
, |
(13) |
||
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
где t — действительное переменное и
<p(t) = \F(t)\.
Очевидно,
о < ф ( / ) < Н 1 .
Если теорема 8 справедлива, то для некоторого достаточ но большого t каждое число tQm—ат сколь угодно мало будет отличаться от некоторого целого и тогда <р(£) сколь угодно мало будет отличаться от k-\-\. Действительно, если хт= tQm—ат, то для данного е > 0 найдется