Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
§ 5. Теорема Кронекера |
127 |
такое, что если \хт—рт \< б для некоторого целого числа
Pm, TO |е?лит— 1 |< £ .
Обратно, если ф(^) сколь угодно мало отличается от k-\-\ для некоторого достаточно большого t, то каждый член в сумме (13) должен как угодно мало отличаться от 1, поскольку ни один из этих членов по абсолютной величине не превосходит 1, и тогда теорема 8 должна быть справедливой. Мы можем доказать это следующим
образом. Если существует такое т), |
|
что cp(0 5 s |
|
^ k+\ —г], и если z = elniXm |
= x+iy, то |г/| ^2г|1/2. В са |
||
мом деле, |
|
|
|
k + 1 — г] -< ф (t) < |
(/г — 1) + |
11 + |
е1шхт\ |
или |
|
|
|
2 > |1 + е~П1Х™|> 2 — г] при |
т — 1,2, ...,&. |
||
Отсюда мы получаем, что |
|
|
|
1\+z\2= { \ + x ) 2+ y 2= ( \ + x ) 2+ { \ - x 2) = |
2 + 2 * > |
||
|
|
(2—г])2> 4 —4т], |
|
так что l ^ x ^ l — 2ц. Далее, |
|
|
|
у2 = 1 — х2 = (1 — х) (1 + х) |
4гр |
||
Значит, \у \^ 2 ц 1/2, и потому |z— 1 1< 4 г]1/2.
Следовательно, теорема 8 будет доказана, если мы по кажем что
|
|
lim ф (*) > |
&-f 1. |
(14) |
Пусть |
|
|
|
|
Ф — 'Ф(М> |
•••>Xli) — 1 |
|
||
и р — положительное целое |
число. Тогда |
|
||
Фр = |
2 |
ач ....„кх?х*>...х"к, |
(15) |
|
|
п1+ —+Я^<р |
|
|
|
|
П/>0. |
/=1....k |
|
|
где коэффициенты аП1....пк обладают следующими свой
ствами: |
(i) |
....nk положительны; (ii) |
.... „fe = |
= Ф Р(1, |
1, •••, |
1) = (A + 1)p ; (iii) их количество не пре |
|
восходит |
( p + l ) ft. |
|
|
128 |
Г л. VIII. Теоремы Вейля |
и Кронекера |
|
Рассмотрим теперь |
|
|
|
|
f p( 0 = ( l + |
2 е 2Я1'( , 9 |
л ) )Р. |
|
m—1 |
|
|
Если |
в разложении (15) |
мы возьмем е2т(Ш/ а1) вместо |
|
Xj, то FP(t) будет суммой |
вида (11), где роль cv играют |
||
числа 2л (ni0i + ... + «ft0ft). Так как Qj линейно независи мы, то числа cv различны. Роль bv в (11) будут играть
числа |
....nk, |
умноженные |
на |
c_23t£(ni“i+ -+ nfcaft).Следо |
||||
вательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
....nk = |
(k + |
iy>. |
(16) |
||
Поскольку ф (^ )^ й + 1, |
для |
доказательства неравенст |
||||||
ва (14) |
достаточно будет показать, что неравенство |
|
||||||
|
|
Пшср (t) < |
k + |
1 |
|
(17) |
||
не может иметь места. |
Неравенство (17) означает, что |
|||||||
|
|
\F(t)\ = ф (0 |
^ X < k |
+ l |
|
|||
для всех достаточно больших t и, следовательно, что |
|
|||||||
|
|
т |
|
|
|
т |
|
|
|
Пт — Г | Е (0 \Pdt< lim — |
\'kpdt = '%р. |
|
|||||
|
г^оо т |
J |
г-х» |
Т |
J |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
о |
|
|
Однако |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bv = lim |
f (F (t))p e~c',li dt, |
|
||||
|
|
T -*■ CO |
2 J |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l & v K j i m |
^\F{t)\Pdt |
< 'ki’, |
|
||||
о
так что каждый коэффициент в разложении (15) будет удовлетворять неравенству
ип1’ lk
§ 5. Теорема Кронекера |
|
129 |
Поскольку имеется самое большее (/? + l)ft |
таких коэф |
|
фициентов , мы имеем |
|
|
(k + 1)р = £ аН....nk < (Р + |
Хр- |
|
Но так как ц= Я/(&+ 1)*<1 и \ар (р+ l ) fe->-0 |
при р-+ оо, |
|
то отсюда следует, что неравенство (17) |
не может иметь |
|
места. В таком случае справедливо неравенство (14), а тем самым и теорема 8.
9 - 8 7 0
ГЛАВА IX
ТЕОРЕМА МИНКОВСКОГО О ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ
ВВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВАХ
§1. Выпуклые множества. В гл. VI мы столкнулись
сзадачами о числе целых точек в некоторых областях
на плоскости. Пусть Rn, 1, есть n-мерное евклидово пространство. Точку пространства мы назовем целой, ес ли все ее координаты — целые числа. В этой главе мы докажем теорему Минковского о том, что каждое вы пуклое симметричное относительно начала координат множество в пространстве Rn, объем которого больше 2”, содержит по крайней мере одну целую точку, отлич ную от начала координат.
Определения. Пусть S — множество точек простран ства Rn. Для действительного числа X через XS мы обо значим множество, получающееся из S растяжением в X раз, т. е.
|
XS = [Я х| х^5]. |
|
Мы говорим, |
что множество 5 выпукло, если из ус |
|
ловия x e S , y ^ S |
следует, что Ъс + p y e S |
для всех дейст |
вительных X и р, |
таких, что Х^О, р^О , |
Я + р = 1 . Если |
множество S выпукло, то XS также выпукло. |
||
Мы говорим, |
что множество S симметрично относи |
|
тельно начала координат, или просто симметрично, если из условия x e S следует, что —x e S . Если S симмет рично, то множество XS также симметрично.
Пусть g — целая точка пространства Rn. Тогда мно жество Sg, состоящее из точек x ^ R n, таких, что х—g ^ S , мы назовем трансляцией множества S на вектор g.
Если множество S измеримо по Лебегу и V(S) ■— его мера, то E (5 ) = I/(5g) для любой целой точки g.
Выпуклые симметричные множества, (а) Пусть мно жество 5 выпукло и симметрично, и пусть Тогда Xx^S для каждого действительного числа X, такого, что
1М <1-
Действительно, если x e S , то из симметричности мнр-
|
|
§ 2. Теорема Минковского |
|
131 |
|||
жества S следует, что —x e S , |
а тогда при |
|Я| ^ 1 из ус |
|||||
ловия выпуклости 5 |
мы имеем |
|
|
|
|||
(Ь) |
Пусть |
множество |
S |
выпукло и |
симметрично, |
||
и пусть x e S , |
y ^ S . Тогда |
Ях+цг/e S для всех действи |
|||||
тельных J, и ц, таких, что |
|Х| + |р,|^1. |
|
|
||||
Если Х = 0 |
или р ,=0, то свойство (Ь) сводится к свой |
||||||
ству (а). Предположим поэтому, что ХфО и р=/=0, |
и по |
||||||
ложим |
ei = sgnA,, |
e2 = sgnp. |
Тогда из |
свойства |
(а) |
||
и условия IM + M |
<1 мы имеем х '= е '( |А| + 1р| ) л е 5 , |
||||||
t/'= 8 2(|k|+|p|)i/e=S. |
|
|
|
|
|||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = — |
, |
G = ___ LeJ— |
|
|
||
|
|
IM + IlH |
|
IМ -Ы Р I |
|
|
|
Тогда p > 0 , a > 0 и p -t'+ at/'eS . Но рх' +
чаем свойство (Ь).
p-f-cr=l, а так как S выпукло, то оу' — Хх+ру, и тем самым мы полу
§ 2 . Теорема Минковского.
Теорема 1 (Минковский). Пусть S — ограниченное
измеримое выпуклое симметричное множество точек про странства Rn, и пусть его мера V удовлетворяет нера
венству V> 2 " . Тогда S содержит по крайней мере одну
целую точку, отличную от начала координат.
Мы дадим доказательство этой теоремы, предложен ное К. Л. Зигелем и основанное на формуле для меры ограниченного измеримого выпуклого симметричного множества, не содержащего целых точек, отличных от начала координат. Предположение об ограниченности множества 5 в теореме 1 не является необходимым (см. теорему 3 и примечания к гл. IX).
Доказательство теоремы 1 (Зигель). Пусть S — огра
ниченное измеримое выпуклое симметричное множество в Rn и V — его мера. Обозначим через L2(S) множество функций, интегрируемых с квадратом на S. Пусть
<peL2(S), и пусть ср(х)=0 при х< &S.
9а— 870