Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
132 |
Г л. IX. Теорема Минковского |
|||
Мы |
будем |
употреблять, |
как |
обычно, запись |
k = ( k u k2, .... kn), |
Х = ( Х и Х2, |
Хп), |
k-X = k lX i+ k 2X2+ ... |
|
...-\-knxn и dx= d xidx2...dxn. |
|
|
||
Рассмотрим функцию |
|
|
||
|
|
f ( x ) = yi<f(2x—2k), |
(1) |
|
|
|
k |
|
|
где k пробегает множество всех целых точек пространст ва Rn. Для любого данного х эта сумма конечна, так как ср равна нулю вне S и S ограничено. Поскольку k пробе гает все целые точки, эта сумма остается неизменной при подстановке Av ->-Av + l . Следовательно, f(x) является
периодической функцией по |
каждому |
переменному |
хи х2, ..., хп с периодом 1. |
|
|
Формула Парсеваля для ряда Фурье функции f дает |
||
\\f\2dx= |
I H l 2, |
(2) |
Е |
I |
|
где Е есть n-мерный куб со стороной 1, I — целые точки в Rn и щ — коэффициенты Фурье функции f:
|
ai = ^ f(x)e~ ^ llxdx. |
(3) |
|
|
Е |
|
|
Из |
(1) мы имеем |
|
|
at = |
I" У] ср (2х — 2k) е~Ш1ж dx = |
У!J ф (2х — 2k) e~2mlxdx, |
|
|
Е k |
kE |
|
где k пробегает все целые точки пространства Rn. Поло жим х—k= t. Если х пробегает точки единичного куба Е, a k пробегает все целые точки, то t пробегает все точки пространства Rn. Следовательно,
j ф (20 < - 2nil (k+t) dt ■-- j ф (20 e~2Mltdt. if
Если мы положим 2t= x , то, поскольку функция ф равна нулю вне множества S, получим
a t = 2 _л J Ф (х) е ~ Шх dx. |
(4) |
|
|
§ 2. Теорема Минковского |
133 |
||
С другой стороны, из (1) |
мы получаем |
|
|||
tf l/l2d * = f S |
(Е Ф (2* “ |
Щ Ф(2* - |
2£')) dx = |
|
|
£ |
Я ft' |
ft |
|
|
|
= |
[ Е Ф (2* — 2А) ф (2х) dx = 2_ " j E |
Ф (* — 2&)ф И |
= |
||
|
Rn k |
|
Rn k |
|
|
|
|
|
= 2_ " E [ Ф (* — Щ Ф (*) dx. |
(5) |
|
|
|
|
ft s |
|
|
Тогда, применяя (2), (4) и (5), имеем |
|
||||
|
Е f ф (х — 2k) ф (х) dx = 2~пS |J Ф (*) е~~Ши dx |2. |
(6) |
|||
|
ft S |
|
i s |
|
|
Далее, если (р(х— 2k)q>(x) фО, то x ^ S и х— 2k ^ S . |
По |
||||
скольку S симметрично |
и выпукло, — х + — (2£—х) = |
||||
~ k ^ S . Следовательно, если 5 не содержит целых точек,
отличных от начала |
координат, то мы должны иметь |
||||
ф(х—2&)ф(х) — 0 при &=/=0, и тогда |
(6) сводится к соот |
||||
ношению |
|
|
|
|
|
j* |ф (лг)J2 dx = |
2~пЕ |) Ф(*) e~nltx dx |2. |
(7) |
|||
S |
|
|
I S |
|
|
Возьмем теперь ф (х)=1 |
при |
Тогда .Нф(л:) \2dx= |
|||
= V и равенство (7) дает |
|
|
|
||
V = 2 -" Е I |
J e - nllx dx f |
= |
2 ~ п (V 2 + |
S |j e ~ " ilx dx |*). |
|
I |
S |
|
l+OS |
|
|
Так как —l пробегает те же самые точки, что и /, мы мо жем переписать последнее равенство в виде
2- V + - l S | f enilxdx |
( 8) |
i+о s |
|
что даст нам формулу Зигеля для меры V ограниченного измеримого выпуклого симметричного множества S про странства Rn, не содержащего целой точки, отличной от начала координат. Из этой формулы следует, что V ^ 2 n,
9а*
134 |
Г л. IX. Теорема Минковского |
откуда непосредственно вытекает утверждение теоремы. Если мы хотим доказать только теорему 1, а не фор мулу (8), можно использовать вместо равенства Парсе-
валя неравенство Шварца
[\ f\ 4 x ^ \ a 0\\
в
По формуле (4) имеем
a0= 2 - n \^ {x)d x= 2~ nV, s
и если S не содержит целых точек, отличных от начала координат, то, согласно (5),
f \f\2d x= 2~ nV.
в
Следовательно, Е ^ 2 " .
Теорема 1 неверна для ограниченных измеримых вы пуклых симметричных множеств меры V = 2 n. Действи тельно, рассмотрим множество |лД < 1 , Оно ог раничено, измеримо, выпукло, симметрично и имеет меру V— 2n, но не содержит ни одной целой точки, отличной от начала координат.
Однако если S замкнуто, то справедлива
Теорема 2. Замкнутое ограниченное выпуклое сим
метричное множество S пространства Rn, имеющее меру
V(S) ^ 2 " , содержит по меньшей мере одну целую точку,
отличную от начала координат.
Доказательство. |
Для данного |
в, |
0 < е < 1 , рассмот |
рим множество S, = |
(l+ e )5 . Так как |
5 измеримо, то S' |
|
также измеримо, и если через V(S) |
и V(S') обозначены |
||
соответствующие меры, то |
|
|
|
1/(5') = (l+ e )» V (S ) ^ 2 " ( 1 + е ) " > 2 п.
Следовательно, по теореме 1 множество S' содержит це лую точку 1В, отличную от начала координат. Множест
во 5 ограничено, и таким же будет множество S', а тог да для 1г имеется только конечное число возможностей.
Поэтому существует целая точка /0, отличная от начала
§ 2. Теорема Минковского |
135 |
|
координат, такая, что /o ^ (l + e)S |
для каждого е, 0 -< е < |
|
< 1 , т. е. /0/ ( l + e ) e S . Если е-М), |
то l0^ S , |
поскольку S |
замкнуто. Этим теорема 2 доказана.
Из теоремы 2 следует
Теорема 2'. Если S — ограниченное выпуклое сим метричное множество, имеющее меру V ( S ) ^ 2™, то его замыкание содержит по меньшей мере одну целую точ ку, отличную от начала координат.
Доказательство. Для данного ограниченного выпук лого симметричного множества S рассмотрим его замы
кание S. Множество S так же, как и множество 5, огра ничено выпукло и симметрично, а также замкнуто, и его мера V (5) ^ V(S) ^ 2 П. Значит, S удовлетворяет услови ям теоремы 2 и, следовательно, содержит по меньшей ме ре одну целую точку, отличную от начала координат.
Чтобы дать другое доказательство теоремы Минков ского, мы докажем сначала следующую лемму:
Лемма (Г. Д. Биркгоф). Если S — измеримое множе
ство пространства Rn, имеющее меру V(S) > 1 , то суще ствуют две различные точки x ^ S и y ^ S , такие, что х—у есть целая точка.
бо |
Доказательство. Пусть g = |
(gb g 2, ..., gn) — какая-ли |
|||||||
целая |
точка. Рассмотрим |
куб |
+ |
||||||
i = |
l , 2, ..., п, |
и обозначим через Sz пересечение множе |
|||||||
ства S с |
этим |
кубом: |
|
|
|
||||
|
S * = S n [(* b |
- , x n) ^ R n, g i ^ X i < g i + 1, |
|
||||||
Пусть |
|
|
трансляция |
множества Sg на вектор |
—g |
||||
(см. |
§ |
1). |
Тогда |
S£. |
содержится в единичном |
кубе |
|||
O^Xj.-Cl, |
l ^ i ^ n . |
Если |
Vg есть мера множества |
S £ , |
|||||
то |
Vg |
будет |
также мерой множества Ss и I X = F > 1 . |
||||||
к
Отсюда, так как единичный куб имеет меру 1, следует существование по крайней мере двух множеств S£_g и
где g и g' — различные целые точки, имеющие н§-
136 |
Г л. IX. Теорема Минковского |
пустое пересечение. Другими словами, существуют две точки x e S ^ и y ^ S g', такие, что x—g = y —g'. Следова тельно, мы нашли две такие точки x g S что
х—y = g —g ' есть целая точка. (Она не обязана, конечно, принадлежать множеству S.) Лемма тем самым дока зана,
С помощью этой леммы мы докажем следующее ут верждение:
Теорема 3 (Минковский). Если измеримое выпуклое симметричное множество S имеет меру V > 2 " (возмож но, V = o o ), то оно содержит по крайней мере одну це лую точку, отличную от начала координат.
Доказательство. Рассмотрим множество — S, мера
которого есть f— J У > 1 . По доказанной выше лемме
существуют две различные точки x e -^ - S и у е -^-S, та
кие, что их разность х—y = g будет целой точкой. Так же
как и 5, множество — S является выпуклым и симмет
ричным. Поэтому из свойства |
(Ь), |
сформулированного |
||
в § 1, следует, что— х ---- — у = |
— у е |
— 5, а тогда y e S |
||
2 |
2 |
2 |
2 |
' |
и g отлична от начала координат, поскольку х и у различны. Теорема доказана.
Последняя теорема может быть использована для изучения однородных линейных форм. Пусть
|
%i — aiiXi-\-ai2X2 -\-...-\-ainxn, £= |
1, 2, ..., п, |
(9) |
|
суть |
п однородных линейных форм |
от п неизвестных |
||
Х\, ..., хп с действительными коэффициентами ац, |
и пусть |
|||
Д — определитель матрицы |
(ац ). Предположим |
снача |
||
ла, |
что Д=5^ 0 . |
|
|
|
Эти формы определяют |
линейное |
преобразование |
||
х-пространства в |-пространство, и если множество 5 вы пукло и симметрично в х-пространстве, то его образ Т в ^-пространстве также будет выпуклым и симметрич ным, поскольку выпуклость и симметричность инвариант
§ 3. Приложения |
137 |
ны относительно линейных преобразований. Но мера ме няется при линейных преобразованиях, а именно если
А=7^0, то
№ <*£2 |
...<*|п=| Л | 1 dxidx2...dxn, |
( 1 0 ) |
Г |
S |
|
так что мера множества Т получается из меры множест ва S умножением на множитель |Д|.
Рассмотрим линейное преобразование L пространст
ва Rn в себя: (хи х2, ..., хп)-+(Ь , |
h , |
Еп). Образ целых |
точек при этом преобразовании |
называется решеткой |
|
Л пространства Rn, связанной с L. Определитель преоб разования L называется определителем решетки Л.
Применение теоремы 3 к ^-пространству дает следую щий результат:
Теорема 4. Пусть А — решетка пространства Rn
с определителем Д^О и Р — измеримое |
выпуклое сим |
метричное множество, мера которого Р > 2 |
П|А| (возмож |
но, V=oo). Тогда Р содержит по крайней |
мере одну точ |
ку решетки А, отличную от начала координат.
Далее из теоремы 2 следует
Теорема 4'. |
Пусть |
Л — решетка пространства Rn |
с определителем |
АфО |
и Р — замкнутое ограниченное |
выпуклое симметричное множество, имеющее меру
^2"|А |. Тогда Р содержит по крайней мере одну точку решетки А, отличную от начала координат.
§ 3. Приложения. (А) Рассмотрим в х-пространстве замкнутое множество S, определенное неравенствами
i= l,2 ,..., л. |
(11) |
Очевидно, что множество S симметрично. Оно будет так же выпуклым. Действительно, если x e S , y ^ S и z=%x-\- +рг/, где К^О, р^гО, Я + р = 1, то
\uuZi-\-ai2Z2-{-...-:\-ainZn\^
=£= А,| ацХ1 + ... + ainXn | -)- р| йцУ\ + ... -f- йгпуп |^
< max ( I aixxx + ... + ainxn |, |aixyx + ... + ainyn \) .