Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
138 |
Г л. IX. Теорема Минковского |
Кроме того, S ограничено. Действительно, если '(ац) ■— матрица, обратная к матрице (ац), то из равенств
|
П |
П |
|
Ь = |
2 аахз следует, что |
Х г= Ц ац& и тогда |
|*i|< |
< 2 1 |
/=i |
/=1 |
равна |
aij|Cj. По формуле |
(10) мера множества 5 |
2П|A|_1CiC2...c„. Соответствующее множество в g-прост- ранстве является параллелепипедом и имеет меру
2пс1с2...сп.
Применяя теорему 4', получаем такой результат:
Теорема 5. Пусть gb g2,..., gn — однородные линейные формы от п переменных х ь х2,..., хп с действительными ко эффициентами и определителем Д=^0. Если сц с2, ..., сп —
положительные действительные числа, такие, что
С\С2...сп^ |А|, то существуют целые числа Хц х2, ..., хп, не
равные одновременно нулю, для которых |gi | |g2|^ <^2,..., |gn|^Cn.
Мы можем, в частности, |
взять Ci—|A|1/n, i = l , |
2,..., П, |
и получить одни и те же |
оценки для всех п |
нера |
венств (И ).
Мы предполагали до сих пор, что А^=0. Если Д= 0, то легко видеть, что множество S в х-пространстве, опре деляемое неравенствами (11), имеет бесконечный объем,
если |
для каждого i, и заключение теоремы 5 оста |
|
ется справедливым. |
|
|
Рассмотрим теперь вместо (11) систему, |
в которой |
|
число неравенств меньше числа неизвестных, |
а именно: |
|
jgi| = |anXi + ... + ainxnI a, i—l,2 , ..., m, m e n . (12)
Тогда множество, определяемое данной системой в х-про- странстве, не будет ограниченным, но в силу теоремы 3 заключение теоремы 5 остается в силе, т. е. существуют целые числа х ь х2,..., х„, не равные одновременно нулю, которые удовлетворяют m неравенствам (12).
Заметим, что случай т е п сводится к предшествую щему случаю т = п, Д= 0. Для этого достаточно, напри мер, записать неравенство (12) при i— m точно п— т + 1 раз.
|
§ 3. Приложения |
139 |
(В) |
В качестве второго приложения рассмотрим мно |
|
жество |
Т в |-пространстве, определенное |
неравенством |
1Ы + 1Ы + - + |Еп| ^ с.
Оно, очевидно, симметрично. Множество Т будет также
выпуклым. |
Действительно, |
если |=(|ь..., 1п)^ Т , |' = |
= (| ',..., |
и А.^0, р^гО, Я ,+ ц = 1, то |
|
п |
п |
п |
Sm.+ cfcl'-aSlSil+i'Z (ЙК |
||
fc=l |
fc=l |
fe-1 |
|
- <max( S l^ l> |
S i ^ l ) - |
|
k=l |
ft=l |
Заметим, что при n = 2 |
множество T является квадратом, |
|
а при п = 3 множество |
Т является октаэдром. Объем Т |
|
может быть вычислен следующим образом. Множество Т состоит из 2" конгруэнтных частей, по одной из каж дого октанта, и та часть, которая лежит в октанте | i> 0, ^2 > 0 ,..., |п >0, имеет объем
Следовательно, Т имеет объем V = (2с)п/п\.
Если сп^гп\ |А|, то из теоремы 4' вытекает
Теорема 6. Существуют целые числа хь х2, ..., хп, не равные одновременно нулю, такие, что
|li| + |£г| + ... + |in |^ |
(nllA l)1^ . |
||
Так как |
g2- •-1п\Ш< |
— (lii| +• |
•- + 1У). то отсюда |
следует |
|
n |
|
|
|
|
|
Теорема 6'. |
Существуют целые числа хи х2,..., х„, не |
||
равные одновременно нулю, такие, что |
|||
|
it t |
|Л| |
|
140 |
Г л. IX. Теорема Минковского |
|
(С) В |
качестве третьего |
приложения рассмотрим |
в g-пространстве множество |
Р, определенное неравен |
|
ством |
|
|
Е? + £22 + - - - + ! п2< С 2.
Это множество симметрично и выпукло. Симметричность множества Р очевидна, а выпуклость следует из нера венства
2 (Ц* +гё;)2 = |
2 И + 2Яр t Ш +и* 2 К2< |
|||
k = l |
|
k = l |
k=\ |
ft=l |
|
|
<(>■]/ 2 |
StfT- |
|
|
|
\ |
r k = l |
' ft=l / |
Далее, объем множества P равен |
|
|||
Г |
Г |
|
rnit"/2 |
|
c J |
• ■ •J |
= |
Г (n /2 + |
1) = C” S«* |
E^<1 |
|
|
|
|
Следовательно, если c ^ 2 ( |Al/s j1/", |
мы можем приме |
|||
нить теорему 4' и получить следующий результат:
Теорема 7. Существуют целые числа xia х2.....хп, не равные одновременно нулю, такие, что
|2 + |2+ . . . + |2 < 4 ^ 2/\
Эта теорема может быть распространена на общие
положительно определенные квадратичные формы
П |
|
Q(Xi> •» хп) = 2 |
xr xs |
г, s= l |
|
с действительными коэффициентами a rs = a sr. Мы говорим,
что форма Q является положительно определенной, если
Q (ati, ..., хп) > 0 для всех Х\, х2,..., хп, отличных от О, 0,..., 0. Определитель D матрицы (ars) называется определителем формы Q, причем £>>0, если Q положи тельно определена. Любая положительно определенная форма Q может быть приведена к виду
<1 = 11 + Ц + . . . + ¥п,
§ 3. Приложенил |
141 |
где gfc — линейные формы от хи х2,..., хп с действительны ми коэффициентами и определителем V D.
Теорема 7 может быть, следовательно, сформулиро вана таким образом:
Теорема 8. Пусть Q — положительно определенная квадратичная форма от п переменных с определите лем D. Тогда существуют целые числа Х\, х2, хп, не все равные нулю, такие, что
где 5„ = я ”/2/Г (п/2 + 1 ).
10—870
ГЛАВА X
ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
ВАРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
§1. Введение. С помощью элементарных рассужде ний мы показали, что простых чисел бесконечно много
и что каждая арифметическая прогрессия вида 4£+1 и 4й + 3, k=\, 2, 3,..., содержит бесконечно много простых чисел (гл. III, § 3). Мы докажем теперь теорему Дирих ле о том, что существует бесконечно много простых чисел в любой арифметической прогрессии a-\-mk, где а и Ы —■ целые числа, 0, {а, т) = 1 и k пробегает все положи тельные целые числа.
Мы доказали в гл. VII, что ряд£] l/р, где р пробегает
все простые числа, расходится. Можно изменить предло женное там доказательство и получить этот результат следующим образом. Для действительного s > l справед ливо тождество Эйлера
оо
/1=1
идля 0 < х < 1 мы имеем
оооо
log Г1 —X h/ Z |
~п < |
“Z |
xn = 1 r—^X ' |
/1=1 |
П=1 |
||
так что при 0 < х ^ 1 /2 |
|
|
|
log |
1—х |
< |
2х. |
Тогда для любого простого р и действительного s > l мы получаем неравенство
1 \ - i |
2 |