Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

144 Г л. X. Теорема Дирихле

остается справедливым для комплексных s с действитель­ ной частью о > 1 .

функция £(s) может быть представлена абсолютно схо­ дящимся произведением, все сомножители которого от­ личны от нуля. Следовательно, £(s)=^0 при а > 1 .

Функция £(s), определенная при о > 1 соотношением

w - i v -

п = 1

является аналитической функцией в полуплоскости о > 0 ,

за исключением точки s = l , где она имеет простой полюс с вычетом 1. Для того чтобы доказать это, воспользуем­ ся формулой суммирования Абеля, доказанной в теоре­

ряд Yi l/nS сходится. Положим теперь [ы].='ы— {« }. Тог-

П~1

да мы получим представление

цией при о > 0 и имеет простой полюс в точке s = l с вы­ четом 1. Функция £(s) называется дзета-функцией Ри­

мана.

§ 2. Характеры. Характером % конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой груп­ пе и обладающая тем свойством, что если Л е б и B ^ G , то

% (А В )=х(А )х{В ).

Обозначим через Е единичный элемент в группе G и че­ рез А~{ обратный элемент для A ^G . Характеры груп­ пы G обладают следующими свойствами:

каждого C eG , что противоречит определению характе­ ра х•Заметим, кроме того, что х(Д) = 1.

(и) Если G имеет порядок h, то Ah= E для каждого A eG . Следовательно, %(A)h= x(Ah) = х (Е ) = 1, т. е. х(А) есть корень степени h из единицы. Характер хь обладаю­ щий свойством x i(А) = 1 для каждого A eG , называется

главным характером группы G.

(iii) Абелева группа порядка h имеет точно h харак­ теров.

Докажем сначала это свойство для циклических групп. Группа G называется циклической, если она со­ стоит из степеней А, А2,..., АГ= Е одного элемента А, ко­ торый называется образующим элементом группы G. По­ рядок г группы G есть наименьшее положительное целое число г, такое, что АГ= Е .

Пусть х — характер циклической группы G. Тогда

+Д2=Пз(то(1 г), откуда ра<ра«=ра*. Так как существует

только г различных корней степени г из единицы, из ус­ ловий (а) и (Ь) следует, что имеется самое большее г различных характеров группы G. С другой стороны, из (с) следует, что имеется по меньшей мере г таких ха­ рактеров. Следовательно, циклическая группа порядка г имеет точно г характеров.

Для того чтобы доказать свойство (Hi) для произ­ вольной абелевой группы G, мы используем следующий результат: каждая конечная (мультипликативная) абе­ лева группа G является прямым произведением цикличе­

рядок группы Gj и через Л ; ее образующий элемент. Тог­ да для порядка h группы G имеет место равенство h =

сти Г} различных значений, то G имеет точно h различ­ ных характеров, где h = rir2... г*.

(iv) Пусть G — конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Из свойства (i) следует, что х (£ ) = 1 для каждого характера х группы G. Покажем теперь, что для любого заданного Л е б , А ф Е , существует ха­ рактер х, такой, что х(^4) Ф 1 •

Мы снова воспользуемся представлением G в виде прямого произведения циклических групп. Как и в (iii), пусть А = А 1‘А*г... Alk. Ввиду того что А ф Е , не все ti рав­

ны нулю. Пусть, например, 1\ф$. Возьмем %(А2) = = хИ з) = - = хИ л) =1 и %{А{) = р , где p = e(2"0/ri, £2= — 1.

Тогда х(Л) = р^ ф \ при 0 < £'i< г1 .

(v) Характеры конечной мультипликативной абеле­ вой группы G образуют конечную мультипликативную

абелеву группу G. Под «произведением» двух характе­ ров х' и %" группы G мы будем понимать характер х, определяемый следующим свойством: х(А) = х'(А )х" (А) для каждого элемента Л е й . Мы имеем

Х(АВ) =х'{АВ )х"(АВ ) =х'{А )% '{В )х"{А )х"(В) = = Х(А)%(В),

так что %'%" действительно является характером.

образом можно доказать существование в группе G под­ групп порядков г2,..., Гй. Рассуждения, подобные тем, ко­

5 = £ х (Л ),

А

где А пробегает все элементы G, и сумму

г - Е х И ) ,

. . *

где х пробегает все элементы группы характеров G.