Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Если В — фиксированный элемент группы G и А про­ бегает все элементы G, то АВ также пробегает все эле­ менты группы G. Следовательно,

S - x ( 5 ) = y % (A B )= y i%(A )= S ,

АА

откуда следует, что (%(В)— 1)S = 0. Следовательно, или 5 = 0, или 5=^=0 и %(£) = 1 для каждого элемента B e G .

Во втором случае %=xi есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,

А1°. если Х=/=Х1-

Если мы умножим сумму Т на некоторый характер %' группы G, то аналогичным образом получим

Х '(А ) -Т = '£ % № )% '(А ) = Цх (А ) = Т.

хх

Следовательно, или Т = 0, или х'(Л ) = 1 для каждого ха­

Пусть m — положительное целое число. Мы знаем, что ср(т) приведенных классов вычетов по модулю m об­ разуют мультипликативную абелеву группу порядка /г= ф (т) (гл. II, § 1). Мы можем, следовательно, рас­ смотреть характеры этой группы. Но определение харак­ тера для приведенных классов вычетов по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом. Положим

%(а) —%(А), если снееА ,

где А — приведенный класс вычетов по модулю т. Тог­ да, очевидно, %(а) =%(Ь), если a=b(m od т), и %(aft) = = х (а)х (6 ). если (а, т) — (b, т) —1. Поскольку х(Л )фО для каждого приведенного класса вычетов А, то %(а) ФО, если (а, т )~ L

Это определение применимо только к целым чис­ лам а, которые взаимно просты с т. Мы можем распрост­ ранить его на все целые числа, положив

% (а)=0, если (а, т )> \ .

Следовательно, характер по модулю m есть арифме­ тическая функция %, обладающая следующими свойст­ вами:

Ф (т) — количество положительных целых чисел, не пре­ восходящих т и взаимно простых с т. Они образуют (мультипликативную) абелеву группу, изоморфную группе приведенных классов вычетов по mod т. Единич­ ным элементом этой группы будет главный характер %i,

денных класса вычетов, а именно класс Е, состоящий из целых чисел, сравнимых с l(m od4), и класс А, состоя­ щий из целых чисел, сравнимых с 3(m od4). Классы А и Е образуют циклическую группу порядка 2. Существу­ ют два характера %i и Х2, где

(II) Пусть т = Ъ. Тогда приведенные классы вычетов суть Е, А, А2, А3, где А — класс всех целых чисел, срав­ нимых с 2 (mod 5). Класс А2 представляет собой класс целых чисел, сравнимых с 4 (mod 5), и А3— класс целых чисел, сравнимых с 3(m od5). Класс Е состоит из целых чисел, сравнимых с l(m od5). Четыре характера опре­ деляются теперь следующим образом:

П=1

число и коэффициенты ап — также комплексные числа.

Рядом Дирихле называется также ряд более общего вида

оооо

2 7 7 - или

где 0 < X i< X 2< ... и Ха-*~оо при п-*~оо.