Файл: Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1.pdf

Для остальных элементов объемных крестов (продольных и по­ перечных ригелей) общими связующими условиями служат гра­ ничные условия и условия сопряжения. В каждом отдельном слу­

Исходя из реальных граничных условий и условий сопряжения коэффициенты к, к', к", к'" можно всегда подобрать так, чтобы для пространственных элементов соблюдались условия (III. 30).

Рассмотрим выражение общего перемещения нейтральной оси балки. Обозначения в аналитических выражениях приняты таки­ ми же, как и в работе [73]. Для случая простых балок доказано, что каждому значению корня частотного уравнения соответствует определенная функция, отнесенная как к Аг так и к В г

граничным_и условиями будет достаточным условием для ортогона­ лизации всей системы.

Если исходить из физического смысла условия ортогонализа­ ции, то в данном случае ясно следующее:

а) колебания стоек обусловливают характер колебаний рамной системы в целом и не накладываются на собственные колебания ригелей,

б) функции f(l) и f\(l) являются основными,

в) для элемента, который характеризуется этими функциями, можно доказать условие ортогонализации.

Принимая во внимание то обстоятельство, что ко всем стойкам одноэтажной однопролетной пространственной рамы приложены одинаковые начальные возмущения и необходимо охарактеризо­

53

вать движение с учетом начальных смещений для каждой стойки б отдельности, можно записать:

критерием для всей системы.

Предложим необходимые доказательства условия ортогонализации собственных форм, которые записываются в виде

i

Л- 1

Сучетом преобразований, предложенных в работе [73J, будем иметь

<111.40)

о

54

U

I OyUm(z)dz

0

(III.41)

J [Um l*)]*dz

о

Эти значения произвольных постоянных подставляются в интег­ ралы вида

Ч

J[Um{ z ) f d z .

о

Фундаментальные функции для приведенных выше выражений получены в работе [103] с учетом любых видов закрепления стерж­ ней. Форму изгибных колебаний рамной системы с массами, рас­ пределенными по длине ригелей и стоек, можно характеризовать формой деформаций рамной системы в плане.

§ 4. КОЛЕБАНИЯ МНОГОПРОЛЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ

Составим из призматических стержней пространственную рам­ ную конструкцию с распределенными массами. Соответственно вы­ берем систему координат и представим, что собственные колебания рамной системы происходят в определенном направлении. Предпо­ ложим, что стойки жестко защемлены в основании и узлы монолит­ ны. поперечные размеры элементов малы по сравнению с длиной; внутренним трением пренебрегаем и считаем, что продольные ко­ лебания в ригелях i отсутствуют. Такую конструкцию можно получить из ранее рассмотренной ячейки, если принять, что отсут­ ствуют нижние ригели и стойки защемлены в основании. Подобная система показана на рис. 18. Имеются также модификации рамной системы с различным числом пролетов по оси оу.

Одноэтажную однопролетную рамную систему можно составить из четырех пространственных крестообразных элементов, двух­ пролетную одноэтажную — из такого же количества крайних крес­ тообразных элементов и двух крестообразных элементов, имеющих стойку и три ригеля. Соответственно и для трехпролетной прост­ ранственной рамы можно указать необходимое количество крайних и средних крестообразных элементов. Для приведенных выше эле­ ментов ранее были записаны граничные условия и условия сопря­ жения, а также показана возможность получения пространствен­ ной рамы в результате сочленения.

Элементы пространственно-рамных систем, составленных из объ­ емных элементов, в случае собственных колебаний испытывают следующие виды деформаций:

а) стойки 1, 4, 6, / претерпевают изгиб по оси ох, б) поперечные ригели 3, 5, к испытывают изгиб по оси ох,

в) продольные ригели 2, 6, 8, i подвержены изгибным деформа­ циям по оси ог,

55

г) стойки 1, 4, 7, j совершают крутильные колебания вследст­ вие изгибных колебаний ригелей к и i.

Запишем общую систему дифференциальных уравнений, описы­ вающих деформации элементов пространственных рам при собст­ венных колебаниях

ной системой для ячейки ц (III. 08), то видно, что в данном случае отсутствуют уравнения, описывающие деформации нижних риге­ лей ячейки. Поэтому решениями системы дифференциальных урав­ нений (III. 42) будут являться ранее записанные решения для общей системы уравнений (III. 08), а именно выражения (II 1.09) — (III. 11), (III. 14) — (III. 16).

Для получения частотного уравнения собственных колебаний рамной системы необходимо данные выражения подставить в гра­ ничные условия и условия сопряжения, составленные для каждого

где / — число этажей, t — число пролетов по оси оу.

56

В случае одноэтажной однопролетной пространственной рамы

W2(x) = AsS3(n2zx) + B3T3{n2z x) + С.ли з (п 2гх ) + D3V3(n2zx),

(III.4 8 )

57