Файл: Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 62

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если принять,

что

— величина отклонения рассматривае­

мой

системы

от

статического положения под действием внеш­

ней

нагрузки

в точке k, a Vlk — величина, вызываемая силой

S tk>то справедливо соотношение

(Ш.1)

V,h

если неизвестна величина прогиба колеблющейся системы со мно­ гими степенями свободы, которая имеет вид

тп V"n \ о. V n + !тл V, + kn,V2+ • • • + kn Vn = — mn V\ (III.2)

С учетом выражения (III. 2) формула для определения величи­ ны сейсмических нагрузок будет представлена в виде известного выражения

i

Значение частоты основного тона обычно определяется по мето­ ду Рэлея. При этом исходят из соображений, что к узлам рамы приложена система сосредоточенных грузов и при данной нагрузке деформация рамы приблизительно соответствует динамической при свободных колебаниях с основной частотой. Вычислением мак­ симальной потенциальной и максимальной приведенной кинети­ ческой энергий получается значение квадрата свободной частоты:

П„

(111.4)

Исходя из результатов исследований значений основной часто­ ты собственных колебаний, проведенных в [18], для горизонтальных колебаний П-образных рам, установлено различие между точным методом расчета, заключающимся в составлении и решении систе­ мы дифференциальных уравнений для рамы, и приближенным ме­ тодом Рэлея, равное —0,7%.

Попытаемся сравнить основные частоты собственных колебаний для четырехстоечной пространственной рамы, рассчитанной точ­ ным и приближенным методами.

Приведем пространственную раму к портальной (рис. 14). Мас­ сы в узлах на рис. 4 состоят из масс отсеченных ригелей и стоек:

/

=

т)2

т,.,

/ -44j

+ тк 4—9-

 

 

 

(111.5)

Л12

=

т.г + tnk' -j- —

Так как кинетическая энергия рамы в основном определяется кинетической энергией стоек и нагрузок, участвующих в смещении узлов, то расчет производится с учетом этого предположения.

При вычислении кинетической энергии стоек во многих случая?, с достаточной точностью можно пользоваться методом приведения масс стоек т. , распределенных по длине, к массам, сосредото­

ченным в узлах рамы М к .

У одноярусных рам коэффициент приведения масс стоек равен

.0,372 и берется в предположении, что нулевая точка находится на середине высоты яруса.

Рис. 14. Схема приведения присгранггвен юн рамы к плоской.

Приведенная кинетическая энергия рамы определяется из вы­ ражения

Т = Т , + ТГ

r 2g 2 а .

(Ш .6)

 

где Тч— кинетическая

энергия

стоек,

 

Тг — кинетическая

энергия

ригелей,

 

Prs — вес всех сосредоточенных грузов, связанных с ригеля­

ми рамы (в данном случае равен нулю),

Gf — вес всех нагрузок, которые необходимо сосредоточить

вузлах рамы;

—горизонтальное смещение узлов рамы.

Выражение для максимальной потенциальной энергии рамной системы имеет вид

пшах

(111.7)

здесь W — горизонтальная сила, под действием которой получи­ лась деформация П-образной рамы, примерно соответствующая динамической при свободных колебаниях для основной частоты.

В результате вычислений, произведенных с учетом выражений (III. 4) — (III. 7), получено значение частоты собственных колеба­ ний, отличающееся от значения частоты собственных колебаний, подсчитанного точным методом, на 15—17% в сторону увеличения.

При точном методе расчета принималось, что жесткости и гео­

44

метрические размеры всех элементов пространственной рамы были равны, кручение стоек и продольные колебания ригелей отсутство­ вали.

Предлагаемая ниже методика позволяет определить более точ­ ные численные значения деформационных факторов, возникающих в пространственных рамных системах при действии сейсмических нагрузок.

§2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЯЧЕЕК

Внастоящее время задача о поперечных, продольных и кру­ тильных колебаниях призматических стержней с различными усло­ виями закрепления получила достаточно широкую математическую интерпретацию и не нуждается в комментариях. Между тем инте­ ресно представить и рассчитать некоторую комбинацию или систе-

Рис. 15. Ячейка 3, полученная из пространственно-рамной системы.

.му стержней, имеющих относительно друг друга различные виды контакта. Ограничив характер деформации системы призматиче­ ских стержней определенными дифференциальными уравнениями и граничными условиями, можно произвести расчет указанной системы на колебания. Покажем это на примере собственных коле­ баний обособленной ячейки (.рис. 15), полученной из каркаса здания.

Исследование колебаний пространственной ячейки начнем с выбора системы координат, а затем запишем систему диффе­ ренциальных уравнений, характеризующих деформации элемен­ тов. Для этого составиманалитические выражения из из­ вестных балочных функций А. Н. Крылова [4], описывающих реше­ ние каждого дифференциального уравнения. Наложим граничные условия и условия сопряжения на элементы системы, пока не свя­ зывая их с другими ячейками каркаса. Подставив решения диффе­ ренциальных уравнений в граничные условия и условия сопряже­ ния, получим матрицу п-го порядка, определитель которой, при равенстве его нулю, будет являться частотным уравнением собст­

45

венных колебаний. Таков общий путь решения задачи собствен­ ных колебаний обособленной ячейки п, которую будем счи­ тать существовавшей отдельно, без связи с другими по трем коор­

динатным осям.

 

 

 

дифференциальных уравнений

Составим систему однородных

для ячейки ip

dl Uj (г)

 

 

 

 

 

 

- , i ) x Uj ( z ) = 0

 

 

dzl

 

 

 

 

 

 

 

 

d ‘Wt (x)

-

n l W t (x) = 0

 

 

dx*

 

 

 

 

 

 

 

 

di V, (x)

 

 

Vt (л ) = 0

 

 

i ----------------n

 

 

 

d x i

 

 

 

 

 

 

d < T l < * )

_

4

T. ( a ) = o

 

 

dx' ~

 

Пи

 

 

(HI.8)

 

d*St ( a )

 

 

 

 

 

- < A ( *) = o

 

 

dx*

 

 

(У)

-

< xu b (y) = 0

 

 

dy*

 

 

 

 

 

 

( У )

—

4

 

 

 

 

dy*

Пkx

 

 

 

 

d‘«j (г)

 

 

b (*) =

 

 

dz2

 

 

 

Охарактеризуем

деформации элементов ячейки

следующими

функциями:

 

 

 

 

] в плоскости

 

Uj (г) — функция смещения стойки

a o z ,

«У (г) — функция,

харштеризующая

кручение стойки /,

Wt ( а ) — функция

смещения

 

верхнего ригеля{„вплте.костиао-г

Vt ( а ) — функция

смещения

 

верхнего ригеляiaвплоскостихоу,

Tt ( а ) — функция

смещения

 

нижнего ригеля1авплоскостиxoz,

S, ( а ) — функция

смещениянижнего

ригеля iuв плоскости хоу,

U k (y) — функция смещения верхнего ригеля кя в плоскости хоу, Fk (у) — функция смещения нижнего ригеля kaв плоскости А о у .

Решениями для каждого дифференциального уравнения сис­ темы (III.8) являются выражения

U j (*) = V : ( V 0 + H A

( nj x Z ) +

C \ U l ( * j x Z ) +

[flj x Z )' (1П-9 )

W t (а ) = A S. (л,,а ) + В .Т. {п1гх} +

 

-Г С.и. (п 1га)

D. V. (пи А),

(ШЛО)

К М = \ S m(п „ х ) + В . Т . (п „ х ) +

 

+ c A

( V ) + f l . l ' . ( ¥ ) '

(III-11)

46

а д

-

а д (я,,*) -I- B j X ' lnx ) +

 

 

i

СР , (пих ) '

К {"iz zh

(Ш. VI)

s , ( * ) - A A ( v o 1 в х Г (V v) +

 

+

СФ^ К ^ ) ^ - Я . 1', (’и,*)'

(in-13)

V * ( y ) = A nSn(nkxy)

f- B n Tn(nkxy)-'r

+

Сп ^ К г У ) +

° Л|/ Л('г*д)')’

(111.14)

F * (у ) =

Л s * K , y ) + ^

K , y ) +

+

c * Ч ( « * , У ) +

17ф («*л-У)-

(ш - 15)

?J (2) = Д cos ( X.2 ) +• # Esin ( Х.г).

(Ш.16)

При колебаниях любого призматического стержня в простран­ стве необходимо учитывать условия наложения связей. Граничные условия и условия сопряжения для обособленной ячейки выберем принимая во внимание предположение, иго элементы, жестко сое­ диненные в узлах, и ригели, обозначенные на рис. 15 как iB и iH, не испытывают продольных деформаций. Стойки /, связанные в уз­ лах с верхними и нижними продольными и поперечными ригелями, испытывают кручение, являющееся следствием взаимных дефор­

маций ригелей.

 

 

 

 

 

 

 

a, b, с, d.

Запишем граничные условия для нижних узлов

При

 

х =

0,

у =

0,

2 = 0,

 

 

 

Х = / г, у = /А, г = о,

 

 

 

х = /Г у = о, 2 = 0,

 

получим

 

X = 0, у — /д, 2 — 0

 

 

Uj(z) =

Fk (y)

а

 

 

 

 

dUj (?)

=

dT,(x)

б

 

.

. dFk (У)

:

 

<-v)

 

 

1г ) = -

rf7“

 

d x

 

E l

U li.! Д _ р /

dx-

 

~

u j IP d z

. (HI.17)

СУ*лг

Дуг

c t iy

 

 

 

d W , ( z ) _

 

 

<t-T, ( X )

Д

 

c i jx

d z 2

-

 

^ ' l z

 

 

 

 

l x

d z з

 

—

 

 

r f y 3

e

 

 

 

 

 

 

 

T’l W

- O

 

 

ж

47

Для верхних узлов ячейки и,

а

именно

А,

В, С, Г),

при

 

л* - 0, у = 0,

z = 1} ,

 

 

 

 

х

 

у — Д ■

z ~

ij 1

 

 

 

 

X = 111 у — О,

Z — lj ,

 

 

 

 

л- = 0, у = lk , z = /у

 

 

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

Uj(z) = Uk (y)

 

 

 

 

dUj (г)

dW, U)

 

 

6

 

 

 

da

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 4

dUk (y)

—

d V t (x)

 

в

 

 

Xj (z) ~

fly

fix

 

 

El,kx

d>Uk (>)

 

d‘\’i ix ) _

 

d<fj (г)

. (HI.18)

dy2 -

El.lу dx-

~

Ui

jp

da

Г

 

d~Uj (г) _

 

d4Vt (x)

 

 

 

El)X

da'2

~

Elia

dx-

 

д

 

 

,

d iU * (У)

F , d ‘u j ^

 

e

 

 

k x

 

fty i

 

j x

d a i

 

 

 

 

 

 

Wf (x) = О

 

 

ж

 

Подставив

выражения

(HI. 9) — (III. 16)

в

граничные усло­

вия и условия сопряжения

(III.

17)

— (III. 18), получим после пре­

образований систему уравнений

 

 

 

 

 

 

апх х4- av2x 24- av,x

 

 

+ aXn x n = 0

 

a.nx x+ aslx 24- п,Гх л -f ...

4

a2nx n = 0

 

a31A'l -f <VV2 H Д Л + • • •

+

a.lnXn = 0

(III. 19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a .j, 4- a,,x„ -f am..x.. -f ... +

a . x „ = 0

 

ml

1 1 m2 2 1 m i

3 1

 

 

mn n

 

 

Из коэффициентов при неизвестных данной системы можно составить матрицу:

4$

Смотрите также файлы