Файл: Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций-1.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 55
Скачиваний: 0
Собственные числа данной матрицы равны
Х=2\779,2173; |
Х,=3997612,00; |
Х3= 24548514,4; |
Х,=87281998,2; Х5=223710540,0.
Матрица собственных векторов R следующая:
0,999528980 |
0,722480316 |
-0,360174226 |
0,0297717934 |
0,685407450 |
0,443541707 |
—0,00716648817 |
—0,0877427811 |
0,817859860 |
0,00191873084 |
0,0221651172 |
—0,0672416907 |
—0,000646223283 |
-0,00698068515 |
0,0113615317 |
0,244874599 —0,194909910 —0,286420736 0,180373585 0,288221550 -0,176220896 0,877021199 0,203751787 —0,0759046475 0,925692582
Период основного тона равен 0,0425 сек. Формы свободных колебаний при х = 0 (х = а) приведены на рис. 2.
§11. ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ РАЗМЕРОВ И УЧЕТ МАСС ВЫШЕЛЕЖАЩИХ ЧАСТЕЙ НА ПЕРИОДЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Для приближенной оценки влияния размеров и масс продоль ных и поперечных элементов и перекрытий на динамические ха рактеристики при одной аппроксимирующей функции определены периоды свободных колебаний (рис. 9).
За аппроксимирующую взята функция
w (x, у) = sin - j - х • s i n у + s in ^ - y .
Элементы матриц Л и В вычислены по формулам (I. 31).
Как видно из рис. 9, с увеличением размеров коробки возраста ет период колебаний, а при учете массы и деформации элементов, период основного тона приближается к экспериментальным данным.
§ 12. СОПОСТАВЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПОЛУЧЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРИОДОВ С СУЩЕСТВУЮЩИМИ ТЕОРИЯМИ
Периоды свободных колебаний для системы с равномерно рас пределенной массой и жестким защемлением опоры, жесткость которой обусловливается деформациями сдвига, вычисляются по формуле
2жН |
(1.33) |
|
Ч |
||
|
28
где |
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
Зтс |
5л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т Г |
|
а, = Т |
’ |
||
Если, |
кроме равномерно |
распределенной массы т \ эта систе |
|||||||||||
ма имеет |
массы /геу, сосредоточенные в отдельных точках, то, |
||||||||||||
чтобы |
пользоваться |
формулой |
|
||||||||||
(1.33), |
необходимо |
вычислить |
|
||||||||||
приведенную равномерно распре |
|
||||||||||||
деленную массу т по формуле |
|
||||||||||||
|
т = т' |
+ |
|
j |
х]}, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в которой для всех тонов реко |
|
||||||||||||
мендуется |
брать \ |
= 2 , |
а значе |
|
|||||||||
ния |
х и |
определяются |
по |
фор- |
|
||||||||
муле |
x tj — sin at |
hj |
|
|
|
|
|
|
|||||
Выше |
(§ |
4) |
мы |
вычислили |
|
||||||||
период основного |
тона |
|
свобод |
|
|||||||||
ных |
колебаний |
для |
коробки |
с |
|
||||||||
учетом изгибных |
|
колебаний |
|
по |
|
||||||||
перечных панелей, |
который |
был |
|
||||||||||
равен 0,0146 сек. При тех же дан |
|
||||||||||||
ных период основного тона, |
|
вы |
|
||||||||||
численный по формуле (1.33), ра |
|
||||||||||||
вен |
0,0138 |
сек. Разница — около |
|
||||||||||
7%. |
|
При |
учете |
влияния |
массы |
|
|||||||
вышележащих частей |
(§ |
10) |
пе |
|
|||||||||
риод |
|
основного |
тона |
был |
равен |
|
|||||||
0,0425 сек. При тех же исходных |
|
||||||||||||
данных период основного тона, |
Рис. 9. Зависимость периода сво |
||||||||||||
вычисленный |
по |
формуле |
(1.33), |
||||||||||
равен |
0,0396 |
сек. Разница — око |
бодных колебаний от размеров па |
||||||||||
нелей (а — ширина, м). |
ло 8%.
Энергетический метод может дать практически приемлемый от вет для получения наименьшей собственной частоты при сравни тельно небольшой простой базиснбй (аппроксимирующей) системе. Поэтому, если необходимо найти величину п низших собственных частот, аппроксимирующая система должна содержать более чем п функций. Количество аппроксимирующих функций обусловлено природой выбранных функций. Если последние аналитически весь ма точно представляют собственные функции задачи, то требуется немного больше п функций. Существование такой близости может быть гарантировано, если диагональные элементы матриц А и В
29
приближенной системы существенно больше их недиагональных элементов.
Рассмотренные в этой главе примеры позволяют сделать сле дующие выводы.
1.Учет изгибных колебаний увеличивает период собственных колебаний основного тона системы примерно на 8—10%.
2.Учет сдвига перекрытия в своей плоскости тоже увеличивает
период собственных колебаний основного тона системы примерно на 10—15%.
3.Сопоставление периодов свободных колебаний основного тона одноячейковой и двухячейковой коробок показывает, что двухячейковая коробка в направлении сейсмических воздействий является более жесткой системой, чем одноячейковая, что вполне ес тественно.
4.С увеличением размеров коробки возрастает период основ
ного тона. , 5. На период основного тона существенно влияет учет массы
вышележащих частей и деформации элементов системы.
Глава II
ВЫ НУЖ ДЕННЫ Е КОЛЕБАНИЯ К О РО БК И
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ
При изучении свободных колебаний коробки мы считаем, что обобщенные силы, действующие на систему отсутствуют, т. е. Р=0. Для общего решения задачи о вынужденных колебаниях исходим из уравнения
А Т |
ВТ = |
Р. |
(НД) |
С помощью преобразования |
|
|
|
Т = |
R - z |
|
(II.2) |
систему уравнений (IIЛ) приводим к |
виду |
|
z + W z = P ; |
(И.З) |
где W = R~x A-1 B R — диагональная матрица, состоящая из |
соб |
ственных чисел; Р — R~x А~г Р — вектор; /?(ф) — матрица собст венных векторов.
Преобразование координат Т в координаты z приводит к раз делению переменных в дифференциальных уравнениях движения. В связи с этим координаты z называются главными.
Матрица-столбец ф определяет отношение амплитуд собствен ных форм колебаний и геометрически может быть представлена как вектор в n-мерном пространстве, компоненты которого явля ются элементами матрицы ф.
Матрица ф называется также собственным вектором.
Вообще говоря, собственный вектор ф включает произвольный постоянный коэффициент. Для того, чтобы избавиться от неопре деленности в собственном векторе ф, первый отличный от нуля эле мент собственного вектора ф приравняем единице.
Таким образом, все остальные элементы собственных векторов ф будут определены единственным образом. Можно считать, что собственный вектор нормализован, и главные координаты следует
назвать нормальными. |
могут быть решены |
самостоятельно. |
Уравнения системы (II. 3) |
||
Когда система находится в |
равновесии, решение |
для zK записы |
вается в виде |
|
|
.-31
|
z* = ^ P |
* SIno>*(< “ ■')*' |
(П.4) |
|
где |
*0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
p k = r ikP i + r 2kP 2 +•••+ глА/>я= 2 r ikp r |
|
||
|
|
1=1 |
|
|
здесь |
— элементы строки матрицы /?-1 Л -1 |
|
||
где |
Р{ = |
— Ж4и0, |
(II.5) |
|
^ = —^ m uwi dxdy — j v f ( d y ) . |
(II.5') |
|||
|
Закон движения пространственной коробки выражается фор мулой
|
w (х, у, 0 = 2 |
(•*’ У) Zk (*)» |
(Н-6) |
где |
*=1 |
|
|
|
|
|
|
|
®*(-«.у)= 2 |
(■*»у); |
|
|
t=i |
|
|
здесь $\к) — компоненты собственных векторов, соответствующие
k-ft собственной частоте; w (х, у) — аппроксимирующие функции. Суть принимаемого приближенного метода заключается в том, что при решении конкретных задач в выражении (II. 6) сохраняет ся конечное число членов, зависящих от количества аппроксимиру
ющих функций.
§ 2. О ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ ПОЧВЫ ПРИ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯХ
Из решения (II. 4) на основании (II. 5) видно, что возможность динамического расчета сооружений на сейсмическое воздействие требует знания законов перемещения почвы при землетрясении, т. е. значения функции u0(t) или ii0(t).
Впервые переход на динамический метод расчета был осуществ лен в нашей стране К. С. Завриевым [31]. Он предложил рассмат ривать сейсмические перемещения по закону косинуса, т. е. в на чальный момент времени основание получает некоторое смещение, а скорость основания равна нулю. Следовательно, функция il0(t) принимается равной
и0(t ) = — а0р2 cos pt, (II.7)
где ас, р — амплитуда и частота колебаний земной поверхности соответственно.
Учитывая сложный и запутанный характер движения почвы при землетрясении и стремясь обойти трудности, связанные с математи
32