Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

Полагая

в f

const

, переходим в уравнениях (П .182) -

(П .187) к

переменной

в

,

интегрируем получившиеся уравнения и удовлетворяем

указанному

вш е

набору краевых

условий. В результате получаем

cos (8* +8+)

т = 7 <7 = 7*

-г„«

cos (в * 8Ф)

Л

cos [8„+8+)

(Г- и

Ц ( в>+8+ ) - * 9 ( в + в + 1

(П .189)

-6=

Г *cos*(в*

* 8+)

, sin ВJ t g

( в + в+)~

Усо2 * (я„ * sc,)2

(

у с о г +(зеп +&f ) 2

и

c o s ( e 'i- e +)

' tg ( в * *

в +'> +

Здесь величина 8+ связана с величинами со, яп

и

следующим обра­

зом:

Из выражений (П .189)

t3

8+

=я ,* яУ

(П .190)

видно, что

решение можно также

выразить в яв­

ном виде через любую из величин

j , 6 , у , f

и

у

. Рассмотрим

особый случай

8 = 6

= const.

(П .191)

Из уравнения (П .183)

получаем

*п

(П .192)

tgB =

Для величин Т и у

по-прежнему

имеют место

первое

и третье вы­

ражения (П .1 8 9 ). Интегрируя с

учетом соотношений

(П .191) и

(П .192)

уравнения (П .182), (П .185) и

(П .187) и удовлетворяя

затем

четвер­

тому и шестому условиям (П .102)

и условиям (П .188),

получаем

l - t S T S ! 0 - ' 1 ' e > - S -

Пусть выполнено условие

1

J

® '193>

sign

(со cos В ) = +1.

Тогда из

первого выражения (П .193)

следует,

что наибольшего

значе­

ния угол

f

достигает при <Г =

0 . Поэтому неравенство (П .173)

будет

выполнено

по

всей длине нити,

если

оно имеет

место при е =

0 . Это

(П .194)

шения неравенство (П .181)

выполнено в силу

неравенства (П .194). В

случае, когда

реализуется

решение

(П .189),

условия,

накладываемые

на параметры

задачи неравенствами

(П .173)

и (П .181)

могут быть за ­

тода в качестве первого приближения по параметрам

а , х п и л». .

В настоящем параграфе, а также в параграфах 1

-4 настоящей гла­

вы для гидродинамической составляющей

распределенной силы было

использовано выражение (П .5 ) . Отметим,

однако, что

изложенные выше

решения в последующих приближениях сведены к квадратурам.

Перейдем в

системе уравнений

(П .1) -

(П .З) к переменной

у 3.и

воспользуемся

затем обозначениями

(П .8)

для величин р , f ,

у ,

, б" и т ,

а также следующими обозначениями:

a s

m.’ , 2 >

/ “ *

’ 6 , 2 m ^

Щ

+ х з

о,

(П .196)

d

(П .197)

■ f ( f j O + X t f t . r f . f i - 0 .

V

*

+ ? * ,

(П .198)

=

d p j

Ш .199)

d X = <“

Можно видеть, что соотношения

(П .198) и

(П.199) тождественно удо­

влетворяют уравнению (I I .3 ) .Разрешая

систему уравнений

(П .196)

-

(П .199), можно найти величины

i 7” ( £

) ,

( f )

и J ? ( £ ) .

Далее

с

помощью первого

соотношения (П .195)

можно определить величину Т ( { ) .

^ А с и м п т о т и ч е с к и й

м е т о д .

Пусть величины

Х3

и Х^ представим

в виде

h

= хзо ( ^ 6 < Р гР )+ Х з 1

)

Ш.200)

где влияние величин Хз ; is XJ?

на характеристики конфигурации нити

в определенном смысле мало по сравнению

с влиянием величин Я ^ и Х1 д .

В этом случае решение системы уравнений

(П .196)-(П .199)

разыскива­

ем в виде разложений

е-б-в+*г+е2 + - >

(П .201)

РгЪ оРРл+Ъ г*-',

+хзо(%>&о<Pjo ’Ро) = °>

(П .202)

(*>’ 60 ' Рло ’^ о ) ’ 0’

(П .203)

d i f t h * 9! ? » ) * *Л ( Z - C o ’ P n , ’ ? ' , ) *

+^'w)*10

( * ’ бо Ж ? о ^ ° >

(П .207)

& .

*

Ро ■?,

(П .208)

d s

У Ж

dp 1

=

-

(П .209)

— И

М

a

d r

1 7

J

а

Ж ) *37 ( * &о Л о Л )+

'О

^10

j. a

tyo

. j L -

d . ir а

z dff„

* ^

'л2 ' Щ

71

'Л

/rkJл>’

кг/

■щ *

Ш- 2 П >

a'fc

■7Г ,г

(П .212)

Z—A ~ * -------------/ 7T>

* fPo’Pi}

„■*•-«►

^ ' 2 / u ^ J ! ^ l

2Pd P 2 ~

f + p ;

а р i2

(П .213)

к гравитационной

составляющей, для величины Х0

имеет место соот­

ношение

__

%д ~ a ( G ) f n f i * е3 .

(П .214)