ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 63
Скачиваний: 0
В соотношении |
.1 9 3 ) величина v определяется согласно |
(U 1.I9I). |
Пусть |
g ° ( s ) = д0 = con st. |
|
* |
(Ш.194) |
Тогда, подставляя выражение (Ш.194) в определение (Ш.184) и инте
грируя, находим |
|
2gB [ t - ( - Q * ] |
|
|||
|
|
(Ш.195) |
||||
|
|
h “ |
к п |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя выражение (Ш.195) в выражение |
(Ш.191) |
и (Ш .192), по |
||||
лучаем |
|
|
kn s |
|
|
|
|
|
[ 1 - (-1) * ] sin |
sin ( о t + <fk ) |
|
||
V(S, t ) |
; 29о г |
— |
(Ш.196) |
|||
|
|
|
|
|||
|
£ |
к У (со2- Я 2)2 + 4f t |
Я 2 |
|
||
|
|
|
||||
|
|
1-7 . |
kfts |
, Л |
|
|
d v |
2&9,к кг [ /- (-/)к] tin |
- J - |
cos (Qt+<pk) |
(Ш.197) |
||
|
к=1 |
У ( с о 2 - Я 2) 2 -! 4 f 2 |
|
|||
Соотношения (Ш .193) и (Ш.196) определяют в рассматриваемом случае
ускорения |
нити. |
|
|
|
|
Примем для силы |
/ воздействия |
срывающихся вихрей на нить |
|||
следующее |
выражение: |
V3 |
sin Я t , |
2 SC S/l Уд |
|
|
|
X z f> < 4 |
|
||
|
/V3 |
Si . |
( П 1 . 1 9 8 ) |
||
|
|
|
d |
|
|
где Л/ - |
гидродинамический |
коэффициент указанной силы, |
SA - чис |
||
ло Струхаля.
Отметим, что с учетом.явления синхронизации срыва вихрей для
докритического |
режима обтекания число |
SA можно принимать в |
диапа |
||||||
зоне 0 ,1 3 + 0 ,2 5 , для закритического режима обтекания - |
в |
диапазоне |
|||||||
0 ,1 + 0 ,3 /437. |
Учитывая соотношения (Ш .148), |
(Ш .182), |
(Ш.194) |
и |
|||||
(Ш .198), |
для величины до |
входящей в |
выражения (Ш.196) и (Ш .197), |
||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
= I z PdV°. . |
|
|
(Ш.199) |
||
|
|
|
0 |
2(т +М ) |
|
|
|
|
|
Амплитуды гармоник, входящих в выражения (Ш.196) |
и |
(Ш .197), убы |
|||||||
вают с их порядковым номером как ( / / к |
) . |
Естественно |
поэтому |
||||||
ожидать, что наиболее существенный вклад в |
решение будут давать . |
||||||||
гармоники с малыми порядковыми номерами. Далее для конкретности |
|||||||||
рассмотрим первую гармонику. Согласно |
соотношения (Ш .196), для |
||||||||
амплитуды |
А |
первой гармоники |
смещения запишем |
|
|
|
|||
R a |
= ---- |
Ь о |
. |
(Ш.200) |
1 |
:я У (со2- З 2) 2 + 4д 22 г |
|
|
|
|
105 |
|
|
|
Отметим, что амплитуды первых гармоник скорости и ускорения ни ти связаны с амплитудой смещения очевидными соотношениями
У" = Я f i f , |
(Ш.201) |
W * = Q ZX *. |
(Ш.202) |
Согласно соотношениям ([Л. Т96) и (Ш. 197), в рассматриваемом слу
чае амплитуды вторых гармоник (как и вообще всех четных гармоник)
равны нулю. Для нити кругового сечения |
имеем |
|
М = £ j°/f . |
(Ш.203) |
|
|
4 |
|
Подставим выражения (Ш.1 4 6 ), (Ш. 1 4 |
7 ), (Ш .161), |
(111.198), а так |
же (Ш.199) и (Ш.203) в выражение (111.200), проведем преобразование получившегося соотношения и введем обозначения
К * |
2 |
К |
* л К |
/ |
. , |
|
(HI. 204) |
п |
|
л |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ш .205) |
|
V0 L |
У |
K ^ p S f, |
' |
(Ш.206) |
||
|
|
||||||
|
я г Sh ( U p ) |
|
(Ш .207) |
||||
с |
|
|
Г * |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Л |
|
|
|
|
7 . |
. |
|
1................. |
|
(Ш.208) |
||
В результате получим |
Y f *■(&* - s ) 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
- |
Z*z d , |
7 . |
(Ш.209) |
||
|
|
n 2K lS h |
|
|
|||
Подставляя выражение (Ш .198) |
для Я |
|
и |
(Ш.209) |
в соотношения |
||
(Ш.201) и (Ш .202), для амплитуд первых гармоник скорости и ускоре ния запишем
у а = Ч |
^ |
|
|
(Ш.210 ) |
|
х к п |
' |
|
|
W ° = J J z k |
l l |
«• |
(Ш .211) |
|
На рис.5 даны графики зависимостей |
У |
= ? |
( е е ) , |
характеризую |
щих амплитуды смещений,скоростей и ускорений нити при поперечном
обтекании, для следующих значений |
параметра £ : |
|
||
£ = |
0 ,2 5 ; 0 ,5 ; |
I ; 2 ; 3 ; |
6 . |
(Ш.212) |
Из ри с.5 видно, |
что резонансный характер |
зависимости Э- - 7 (s e ) |
||
сильнее выражен при |
больших значениях параметра |
е . |
||
106
Рио.5 . |
|
График зависимости |
7 = ? ( х ) . |
|
|
|||
Пусть соотношение между натяжением в |
нити Т °, |
ее длиной |
I |
|||||
скоростью потока |
и другими параметрами таково, |
что имеет место |
||||||
неравенство |
|
|
■ я г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
<<1' |
|
(Ш. 213) |
|
(Заметим, что условие |
(Ш.213) выделяет весьма широкую область зна |
|||||||
чений параметров Т°, |
L |
, |
и т .д . |
из практически интересных диапа |
||||
зонов их изменения.) Тогда выражение для величины |
7 упрощается ж |
|||||||
принимает вид |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
* |
= ~ /j7 jT ' |
|
(Ш.214) |
||
Учитывая выражения (Ш .207), |
(Ш.209) - |
(Ш .2И ) |
и (Ш .214), |
можно |
||||
видеть, что при выполнении неравенства (Ш.213) амплитуды омещения,
скорости и ускорения нити под воздействием срывающихся вихрей в по перечном потоке определяются, в основном, коэффициентами лобовой и боновой гидродинамических сил, числом Струхаля, диаметром нити,
скоростью потока и отношением массы нити к ее присоединенной массе.
|
|
|
|
Г л а в а |
1У |
|
|
|
|
||
|
|
|
ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НИТИ |
|
|
|
|
||||
I . |
Модель с произвольным числом сосредоточенных грузов |
|
|
||||||||
Пусть нить содержит в себе |
/V |
сосредоточенных грузов, |
каждый |
||||||||
весом Рв . |
Пусть грузы |
расположены друг от друга на расстоянии |
21, |
||||||||
а крайние грузы расположены от концов нити на расстоянии |
I . |
Та |
|||||||||
ким образом, L = 2NI |
, |
гдё L |
- |
общая длина нити. Пусть |
иг |
- |
пла |
||||
вучесть нити, mg - |
масса единицы длины нити (с учетом присоединен |
||||||||||
ной массы жидкости). |
Нить первоначально |
вытянута вдоль |
оси х |
= у 7. |
|||||||
Погружение |
(всплытие) |
в |
целом происходит |
вдоль оси z * |
у 3 \ Тх и |
Тх - |
|||||
орты вдоль |
осей х |
и |
z |
. Под влиянием сосредоточенных грузов |
|
нить |
|||||
будет изгибаться. |
Для описания процесса изгибания нити под дейст |
||||||||||
вием сосредоточенных грузов смоделируем нить набором 2N шарнирно
соединенных жестких стержней |
равной длины t I . |
Схема модели пред |
||||||
ставлена на ри с.6 , |
где ^ |
^ |
...............у ^ - углы, |
которые |
стержни |
|
||
составляют |
с осью |
х . в дальнейшем для простоты число |
грузов |
N |
||||
считается четным. |
Середине |
нити соответствует |
значение координаты |
|||||
х |
= 0 . В |
оилу очевидной симметрии движения нити относительно |
оси % |
|||||
в дальнейшем ограничимся рассмотрением погружения части нити, |
на |
|||||||
ходящейся справа от оси z |
. Стержни соединены шарнирно в точках А , |
|||||||
В |
, С , В |
и т .д . |
Грузы расположены в точках |
В , $ |
и т .д . |
|
||
|
В качестве обобщенных лагранжевых координат рассматриваемой, |
|||||||
системы выберем z |
- координату шарнирного соединения |
стержней при |
||||||
х= 0 , которую обозначим через 2 , и углы у> , ^ , . . . , ^ .
Уравнения Лагранжа второго рода рассматриваемой системы тогда за пишем в виде /23, 1037
*л |
ЗА |
0 |
Ц |
e z |
’ |
(1У .1)
(1У .2)
...... *
А * ТэУэ, |
. (1У .З) |
108
где Тэ - кинетическая энергия системы, |
У 3 - |
потенциальная энергия |
определяемая изгибной жесткостью нити, |
и |
- обобщенные силы. |
Р и с.6 . Схема дискретной модели нити. |
|
|
|
|||||||||
Потенциальную энергию, |
связанную |
с изгибом нити, будем считать |
||||||||||
пропорциональной квадрату |
разности |
углов, |
которые |
стержни |
состав |
|||||||
ляют с осью х . В результате |
для |
величины |
Уэ запишем |
|
|
|||||||
y 3 = C V2r |
* |
j |
l 2 (<rp -¥ p - , ) 2- |
|
|
|||||||
Заметим, что значения углов |
здес/° и далее |
берутся вместе с их |
||||||||||
знаками. Связь постоянной |
С |
|
с |
изгибной жесткостью |
нити |
E I |
будет |
|||||
определена в дальнейшем. Для величин |
Тэ , |
Qz |
и Qi |
имеем /23, 1037 |
||||||||
|
г-Р- |
|
/ г » |
mu |
2 |
|
|
|
(1У .5) |
|||
|
Т |
|
|
ж |
y*> |
|
|
|
||||
|
|
|
|
a z ' |
|
|
|
|
|
|||
|
xh* |
|
|
|
(1У .6) |
|||||||
|
Q = |
г |
|
7 |
. J Z |
|
|
|
||||
|
V |
- |
l |
t |
- |
|
. |
ъ=1,г,...,ы , |
(1У .7) |
|||
где суммирование проводится по всем |
"частицам" системы, |
|
- масса, координата и |
скорость |
а -й "частицы", Л |
сила, действующая на <*-ю |
"частицу". |
|
Запишем выражения для |
координат |
точек стержней |
md • Ъ ’
- внешняя
|
1 |
z + s ?1 ’ |
|
(1У .8) |
|
|
|
|
|||
rt |
mZ7x * l L |
T? * sT* |
- |
|
(1У .9) |
|
(1У .10) |
||||
?k = |
cos 9^7^ * sin Vk ?z |
, * ' |
■■■’ N' |
||
109