Файл: Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть.pdf

Но эту задачу можно в значительной степени упростить, если пред­ положить, что средние квадратические ошибки измеренных на ■станциях направлений равноточны и равны некоторой величине^.

Из рис. 34 (часть рис. 32) видно, что направление вектора Wi ■фиксируется на сфере пересечением дуг больших кругов, плос­ кости которых нормальны векторам щ и ф>. Эти дуги можно считать линиями положения точки W\ по аналогии с предыдущими рас­ суждениями полагаем, что эти линии под воздействием ошибок р.

I

испытывают колебания относительно средней позиции, и общая погрешность направления вектора W отразится на сфере в форме среднего квадратического эллипса; полуоси этого эллипса на осно­ вании (2.29) будут равны

ниями на наблюдательные станции, равный углу между линиями положения.

Так как большая полуось эллипса здесь проходит по биссек­ трисе острого угла между линиями положения (2.30), то ее откло­ нение ф относительно направления хорды можно получить по более простой формуле

Ф = 2 2 Р1 (2.36)

где ßi,2 — углы между хордой и направлениями на спутник на станциях.

89

В итоге, искомая ошибка mw оказывается равной

графоаналитическим путем.

На рис. 35 изображена вспомогательная сфера единичного ра­ диуса, построенная вокруг точки 1 хорды. На этом же рисунке показаны направление хорды 1—2, плоскость синхронизации Р (в плоскости чертежа), единичные векторы щ и я2, направленные на спутник, и линии положения Д0, и La2 конечной точки век­ тора W, определяемые следами пересечения сферы плоскостями, перпендикулярными векторами щ и я2.

Полагая ошибки Да измеренных направлений на спутник ма­ лыми величинами, непосредственно из чертежа находим, что под

на направление вектора №). Отклонение вектора ДИ7 по направ­ лению хорды при этом будет равно

Перейдя по общим правилам теории ошибок от конечных при­ ращений к средним квадратическим ошибкам, найдем

Заметим, что точность определения топоцентрических коорди­ нат ИСЗ, при прочих равных условиях, зависит и от зенитного рас­

где цо— ошибка определения координат в зените. При равноточных измерениях на станциях

Результаты, получаемые по формулам (2.41) и (2.37), одно­ значны, но для анализа функции тлѵ при предельных значениях углов ß формула (2.37) более удобна. Уравнение (2.41) легко при­ водится к виду

90

]

где /'j и /'2 — расстояния до спутника от наблюдательных станций, L — длина хорды.

Остановимся на особенностях найденных соотношений.

1. При параллактическом угле ßc, равном 90°, и равноточных измерениях на станциях погрешность направления вектора W отражается на сфере круговой ошибкой радиуса р. Если и вторая пара синхронных наблюдений выполнена с той же точностью, а плоскости синхронизации перпендикулярны друг к другу, то ошибка направления искомого вектора ё будет равна значению р.

2. С геометрической точки зрения объект наблюдений (ИСЗ) выгоднее всего располагать на хорде или ее продолжении. Хоть

стремится к бесконечности, это не влияет на точность искомого направления хорды, так как смещение векторов W в плоскости, нормальной к вектору ё, не влияет на угловое положение этого вектора.

3. Влияние несинхронности наблюдений на ошибку углового положения вектора W уменьшается по мере уменьшения угла между траекторией спутника и плоскостью синхронизации.

Эти выводы, однако, нельзя считать окончательными, не рас­ смотрев других, альтернативных соображений.

Во-первых, наблюдать низкие спутники опасно из-за искажаю­ щего влияния рефракции (полагают, что предельное допустимое значение г0=75°); во-вторых, при заданной величине z0 область расположения подспутниковых точек, доступных наблюдению, резко снижается с уменьшением высоты спутника над . поверх­ ностью Земли; в-третьих, при небольшой высоте Н спутника на­ блюдать его будет трудно из-за большой угловой скорости дви­ жения.

Итак, для практических расчетов погрешностей направления хорды, при необходимом минимуме измерений, могут быть реко­ мендованы формулы (2.37), (2.41) и (2.32), а для неравноточных измерений на станциях — формулы (2.39) и (2.32). Эти соотноше­ ния в самом общем виде решают задачу оценки точности.

В недавней работе Г. А. Устинова [75] предложены более про­ стые формулы для оценки точности направления хорды для част­ ного случая равноточных измерений, когда углы ßi = ß2=ß, и плос­ кости синхронизации расположены симметрично относительно хорды. Вывод формул Г. А. Устинова можно повторить на основе

При условиях, поставленных Г. А. Устиновым,

91

В свою очередь, учитывая значения углов і, на основании (2.32) получим

По мнению Г. А. Устинова, формулы (2.43) и (2.44) должны отражать горизонтальную та и вертикальную гпп ошибки направ­ ления хорды. Однако пользоваться этими формулами можно толь­ ко при соблюдении трех условий:

а) равноточности измерений на станциях; б) равенстве расстоянии от наблюдателя до ИСЗ (ПВЦ);

в) симметричном (зеркальном) расположении плоскостей син­

Среди нескольких известных методов определения вероятней­ шего значения направления хорды из серии многократных наблю­ дений наибольшее распространение в работах Смитсонианской астрофизической лаборатории (SAO) получил способ Г. Вейса [71]. В этом методе решение трехмерной задачи о пересечении плос­ костей синхронизации сведено к двухмерной задаче пересечения линий — следов этих плоскостей — в плоскости со, перпендикуляр­ ной к хорде (рис. 36).

92

При этом предусматривается следующий порядок действий,

1.По приближенным координатам точек 1 и 2 хорды опреде­

ляется единичный вектор этого направления

IR t - R i I

2.Составляется уравнение плоскости геоцентрического сече­ ния хорды

и определяется угол наклона этой плоскости к экватору

93-