Файл: Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть.pdf

X — вектор поправок к приближенным значениям неизвестных, L — вектор свободных членов, е — вектор поправок измерений, Р — ве­ совая матрица результатов измерений.

В соответствии с принципом наименьших квадратов наиболее надежное значение вектора X определяется соотношением

где ц — ошибка единицы веса, Q — матрица весовых коэффициен­ тов (обратная матрица коэффициентов нормальных уравнений по­ правок неизвестных).

Уравнение (1.75) имеет тензорную форму и операции с вели­ чинами М2 подчиняются правилам тензорной алгебры. А так как

Диагональные элементы тензора (1.76) представляют собой квадраты средних квадратических ошибок положения искомого пункта по направлениям осей координат, а остальные элементы — корреляционные моменты, отражающие зависимость между не­ известными.

Тензор ошибок М2 непосредственно связан с матрицей Р коэф­ фициентов корреляции соотношением

где in — диагональная матрица, составленная из средних квадра­ тических ошибок искомых неизвестных

mл

2* 35

В свою очередь

средний квадратический тензор ошибок положения точки окажется равным

точности геодезических построений при необходимом минимуме измерений; она справедлива и для того случая, когда вместо ре­ зультатов непосредственных измерений используются их функции.

Тензор ошибок — универсальное средство для оценки точности положения точек. Он позволяет, в случае необходимости, опреде­ лять погрешность положения точки по любому заданному направ­

36

лению, находить элементы среднего квадратического эллипсоида ошибок и определять тензор ошибок положения точки в другой координатной системе.

Основные операции с тензорами ошибок следующие.

1. Чтобы определить среднюю квадратическую ошибку поло­ жения точки по заданному направлению, достаточно умножить тен­ зор ошибок на единичный вектор а этого направления, т. е.

а—■ (cos а cos ß cos y ) .

2.Переход от тензора ошибок (1.76) к среднему квадратиче­ скому эллипсоиду можно осуществить на основе правил тензорной алгебры. Известно, что для каждого тензора существуют направ­ ления йо, обладающие свойством

где X— главные значения тензора.

Уравнение (1.87) равносильно системе трех однородных урав­ нений

Поскольку тензор ошибок всегда имеет симметричный вид, то уравнению (1.90) отвечают три вещественных положительных кор-

37

ня — главные значения тензора. В этих новых составляющих тен­ зор ошибок записывается в виде

направления которых соответствуют главным направлениям тен­ зора. Эти направления определяются из решения системы одно­ родных уравнений (1.88) после подстановки в них соответствую­ щего корня л,- кубического уравнения (1.90).

Средняя квадратическая ошибка положения точки по некоторо­ му .направлению ä после этого может быть получена из равенства

где cp — углы, составленные заданным направлением с направле­ ниями полуосей эллипсоида ошибок.

3. Преобразование тензора (1.76) при переходе к другой ор гональной координатной системе осуществляют по правилу

где П — матрица направляющих косинусов координатных осей но­ вой системы относительно старых осей.

Для тензора ошибок (1.75) совокупного положения нескольких точек справедливо равенство

где блоки П составлены из матриц направляющих косинусов (1.95),

иих число равно количеству трансформируемых пунктов.

4.Важное значение в оценке точности геодезических се имеет решение вопроса об ошибках взаимного расположения то­ чек. При наличии совокупного тензора ошибок (1.75) эта задача решается методом элементарных преобразований этого тензора, причем замечательно, что такие преобразования можно сделать независимо от того, имеют ли рассматриваемые точки между со­ бой непосредственную связь, или не имеют.

38

Для решения такой задачи необходимо взять из общего тен­ зора ошибок системы элементы, выражающие совокупные ошибки положения этих пунктов

Принимая во внимание, что в рассматриваемом случае

Lv = Х, — Х ъ Ly —-Y* — Yu Lz = Z%— Zx.

компоненты преобразующего тензора Т для перехода от ошибок координат точек к ошибке вектора L& (в принятой системе коор­

39