Файл: Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 59

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и согласно правилу преобразования тензоров получим

 

 

 

ftl&xAx

ГПАхАі/ ^Д.ѵАг\

 

ху

 

Мі = Т Щ 2Т

tIl-АхАу

ГПАуАу

W-Ai/Az I =

Ңу

 

 

 

 

 

\ШАхАг

2

2

J

^ M\vz

//,

 

 

 

 

^AyAz

WlAzAzJ

 

'(mxlXl +

гПхгХг — 2 пГх,хг) ( т ХіУі + пгхМі„

т

2

mfhX2)

 

І іУ2

 

(т хіУ, +

mXlyt — m ;.,/2 —

m L j (пц,Уі +

пгт

, 2 т УіЯ2 j

 

/ 2 , 2

2

 

2 \ / 2

,

2

 

0

 

Ч

\ ,г, ~Г т Хгга

^Аѵ:г2

т х„2,) \^hyizv “Г ^A/2z

\\

J

 

 

 

 

/ 2

- V 2

2

 

2

 

 

 

 

 

(/«*,*, + ,m*j2s — nix^ in ^ J

 

(1.98)

 

 

 

(mjj.z,

+ m l .j. —

 

m ^ 2 i)

 

 

 

 

 

~f" ^ 2 ,Z 2

2nz2l22)

 

 

 

 

Для

отыскания

ошибок составляющих элементов £ і;2 возьмем

систему прямоугольных

координат s,

 

и, в которой ось s

совпа­

дает с линией, соединяющей рассматриваемые

пункты,

другая

ось t параллельна

плоскости экскаватора и перпендикулярна к

оси s, а третья дополняет указанную систему до правой; матрица направляющих косинусов этой системы в принятой системе коор­ динат равна

 

cos і(з cos Л

— sin Л

— sin яр cos Л\

 

 

( cos яр sin Л

cos Л

— sin ipsin A | ,

(1.99)

 

sin яр

0

cos яр

/

14).

где яр и Л — направляющие углы вектора Li,2 (см. рис.

Тензор ошибок взаимного положения пунктов вычислим по

формуле (1.95), а именно

 

 

 

 

 

 

 

2

0

о

\

 

 

 

(mss

trist

т;и \

 

где

 

niit

m l

m l

,

(1.1001

 

msu

mtll

mlu )

 

 

 

 

 

mis — p Lcos2 яр cos2 A — \i2uysin2 Л -f p L sin2 яр cos2 Л —

 

— p2(/ cos яр sin 2Л — p2z sin 2яр cos2 Л -j- p2z sin яр sin 2Л,

;

tri~t = іі2л.cos2 яр sin2 Л -j- p2y cos2 Л + u2z sin2 яр sin2 Л +

 

+ p2y cos яр sin 2Л —rprz sin 2\p sin2 Л — p2z sin яр sin 2Л,

 

mlu = А« Sin2^ + llL C0s2 У + Рл'2 Sin 2ll)>

 

m2st =

-j- sin 2Л (p^ cos2 vp +

p2z sin2 яр — y?yy) -f y?xycos яр sin 2Л —

---- p2z sin 2яр sin 2Л — p2z sin яр cos 2Л,

40


irCsu = - у sin 2lj) COS A

jJL^) p?xy sin ф sin A -f

 

 

-j- pr2 cos 2ф sin A — p? cos фsin A,

 

 

ml, = ~

sin 2ф sin Л (p,^. — p,^) +

\?xy sin ф cos A +

 

 

+ \i\zcos 2ф sin A -f-

cos Ф cos A.

 

( 1. 101)

Контролем вычислений здесь служит равенство

 

 

ffLss “I"

+

Ah,a =

j-lxx“Ь [.Іуі/ ~ pzz,

(1.102)

а искомые ошибки длины стороны

L и

направляющих

углов ф

и А определяются из соотношений

 

 

 

 

 

mL=

mss, tri'

=

- • р",

т =

р"-.

(1.103)

 

Л

 

L cos ф

 

ф

L

 

В тех случаях, когда

анализу

подлежат

пространственные

построения с небольшим числом точек, для оценки точности урав­ новешенных элементов сети можно применить также теорему [61] о том, что вес уравновешенного значения измеренного эле­ мента сети равен сумме весов двух величин: веса непосредствен­ ного измерения и’ веса того же элемента, найденного косвенным путем по результатам остальных измерений в сети.

При применении этой теоремы используется понятие весового

тензора положения

точки,, который

определяется как

величина,

обратная среднему

квадратическому

тензору ошибок

положения

пункта, т. е.

 

 

 

 

Рк = « ) - ' •

(1.104)

Операции с весовыми тензорами по своей сути аналогичны операциям с весами в теории ошибок измерений, и если, напри: мер, для некоторой точки из совокупности многократных измере­ ний можно вычислить-несколько независимых значений тензоров ошибок М2К, то итоговый весовой тензор положения точки ока­

жется равным

 

Рк. = 2 (М У “ 1= 2РК.,

(1.105)

а окончательный

тензорошибок положения этой точки

опреде­

ляется формулой

 

 

 

=

(1.106)

В ряде случаев операции по оценке точности можно осущест­ вить с помощью весовых тензоров, используя принцип эквивалент­ ной замены [61].

5. В заключение обратимся к вопросу оценки точности поло­ жения пунктов геодезических сетей с учетом ошибок исходных

41


пунктов, и приведем, в соответствии с работами В. А. Коугия [33] и [34], основные расчетные формулы. Согласно этим работам тен­ зор ошибок положения пунктов сети можно представить как сумму двух тензоров

 

М2 =

+ Ш *схГг,

(1.107)

где Q— матрица

весовых

коэффициентов

уравновешиваемой

сети;

квадратический тензор ошибок положения ис­

■Л42нсх— средний

ходных пунктов;

 

 

Г— преобразующий тензор, определяемый уравнением

 

Г = — QATP0,

(1.108)

где А — матрица коэффициентов уравнений поправок;

Р— весовая матрица непосредственных измерений;

Ф— матрица частных производных измеренных величин по координатам исходных пунктов.

Помимо этого основного метода, в работах автора [62] и [63] было показано, что при оценке точности положения точек геоде­ зической сети с учетом независимых ошибок положения исходных пунктов можно пользоваться той же методикой, что предназна­ чена для оценки точности положения пунктов без ошибок исходных данных, но с той разницей, что при вычислении корреляционной матрицы непосредственных измерений к квадратам средних квад­ ратических ошибок измеренных величин следует прибавить квад­ раты ошибок положения исходных пунктов по направлениям гра­ диентов измеренных величин.

В обобщенном виде это положение в соответствии с [33] пред­ ставляется так, что корреляционная матрица М2 , используемая

при составлении весовой матрицы уравнений поправок, должна быть исправлена за счет влияния ошибок исходных данных и по­ лучена как сумма

М\. = Ml + ФМІа!Фт.

(1.109)

Тогда отвечающая ей весовая матрица будет равна

Р' = (ЛГ2,) - ‘.

(1.110)

В соответствии с методикой уравнивания зависимых результа­ тов измерений [34], [30] нормальные уравнения в сети теперь будут получены в виде

АТР'АХ +

АТР'Ь = 0.

(1.111)

А тензор ошибок совокупного

положения точек

геодезической

сети окажется равным

 

 

ЛГ2 = у?(АтР'А)-1= Ii2Q'.

(1.112)

■42


Об о ц е н к е

т о ч н о с т и п о л о ж е н и я И С З

в о р б и т а л ь н о м м е т о д е к о р о т к и х д у г

Определение координат точек земной поверхности по наблю­ дениям движущихся по орбитам ИСЗ пока применяют только в исследовательских целях. Но по мере накопления наших знаний о природе возмущающих сил и совершенствования техники на­ блюдений рассматриваемый метод может найти и более широкое применение в практике геодезических работ. Поэтому следует дать вывод строгой формулы для оценки точности положения ИСЗ в орбитальном методе, где он рассматривается как подвижной опорный пункт, так как успешное применение метода коротких дуг зависит от надежности прогнозирования положений спутника на заданный момент времени,, с учетом ошибок определения эле­ ментов начальной промежуточной орбиты и неточности парамет­ ров возмущающей функции.

В общем случае точность положения спутника Земли на за­ данный момент времени может быть охарактеризована тензором

Mc = q,M25fqJ, . (1.113)

где <7( — матрица частных производных координат ИСЗ по элемен­ там орбиты, М\ —тензор ошибок элементов орбиты на момент

наблюдений.

Элементы матрицы qi, представляемой якобианом

 

 

 

 

 

, дЗ_

&а_ дЗ_ дЗ_ _дЗ_ _дЗ_

 

 

 

 

 

 

/

да

де

ді

дМ

да

дй.

 

 

 

5(5,

Н, Z)

_

_5Н_

_5Н_

j>H_ _5Н[

_5Н_ _5Н

 

 

д (а,

е, і,

М,

ш, Q)

|

да

де

ді

дМ

доз

dQ

 

 

 

 

 

 

\

дЪ_

_5Z_

_5Z_

dZ_

_5Z_

_dZ_

 

 

 

 

 

 

''

да

де

ді

дМ

dQ

(1.114)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определяются путем дифференцирования уравнений

(1.16) — (1.23),

а именно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

53

дг_ =

(1 — е cos Е)(cos и cos ß — sin и cos i sin ß),

(1.115)

да

дг

да

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д З _ _ дЗ_ дт_ _ö£_

_53_ _5г_

_5Е_ _5Э_

дЕ_ { дЗ_ дЬ __

де

 

дг

дЕ

де

дг

де

5&

дЕ

 

де

~Г <Э!>

де

= а ((cosh cos ß — sin и cost sinß [—esm E------ cos.e ')

—(1 — ecos£)X

 

[

 

 

 

 

\ 1 — e cos E

 

j

 

 

 

X (sinacosQ-b cos «cost sin ß ^ ——sm & ^

дЗ

.

---- =

a(l — ecos E) sin a sin i sin ß.

ді

j> (1-116)

(1.117)

43