Файл: Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 59
Скачиваний: 0
и согласно правилу преобразования тензоров получим
|
|
|
ftl&xAx |
ГПАхАі/ ^Д.ѵАг\ |
|
ху |
|
||||
Мі = Т Щ 2Т |
tIl-АхАу |
ГПАуАу |
W-Ai/Az I = |
Ңу |
|
|
|||||
|
|
|
\ШАхАг |
2 |
2 |
J |
^ M\vz |
//, |
|
||
|
|
|
^AyAz |
WlAzAzJ |
|
||||||
'(mxlXl + |
гПхгХг — 2 пГх,хг) ( т ХіУі + пгхМі„ |
— т |
2 |
mfhX2) |
|
||||||
І іУ2 — |
|
||||||||||
(т хіУ, + |
mXlyt — m ;.,/2 — |
m L j (пц,Уі + |
пгт |
, — 2 т УіЯ2 j |
|
||||||
/ 2 , 2 |
2 |
|
2 \ / 2 |
, |
2 |
|
0 |
|
|||
Ч |
\ ,г, ~Г т Хгга |
^Аѵ:г2 |
т х„2,) \^hyizv “Г ^A/2z |
\\ |
J |
|
|||||
|
|
|
/ 2 |
- V 2 |
2 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
(/«*,*, + ,m*j2s — nix^ — in ^ J |
|
(1.98) |
||||||
|
|
|
(mjj.z, |
+ m l .j. — |
|
— |
m ^ 2 i) |
|
|||
|
|
|
|
~f" ^ 2 ,Z 2 |
2nz2l22) |
|
|
|
|
||
Для |
отыскания |
ошибок составляющих элементов £ і;2 возьмем |
|||||||||
систему прямоугольных |
координат s, |
|
и, в которой ось s |
совпа |
|||||||
дает с линией, соединяющей рассматриваемые |
пункты, |
другая |
|||||||||
ось t параллельна |
плоскости экскаватора и перпендикулярна к |
оси s, а третья дополняет указанную систему до правой; матрица направляющих косинусов этой системы в принятой системе коор динат равна
|
cos і(з cos Л |
— sin Л |
— sin яр cos Л\ |
|
||
|
( cos яр sin Л |
cos Л |
— sin ipsin A | , |
(1.99) |
||
|
sin яр |
0 |
cos яр |
/ |
14). |
|
где яр и Л — направляющие углы вектора Li,2 (см. рис. |
||||||
Тензор ошибок взаимного положения пунктов вычислим по |
||||||
формуле (1.95), а именно |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
о |
\ |
|
|
|
(mss |
trist |
т;и \ |
|
|
где |
|
niit |
m l |
m l |
, |
(1.1001 |
|
msu |
mtll |
mlu ) |
|
||
|
|
|
||||
|
mis — p Lcos2 яр cos2 A — \i2uysin2 Л -f p L sin2 яр cos2 Л — |
|||||
|
— p2(/ cos яр sin 2Л — p2z sin 2яр cos2 Л -j- p2z sin яр sin 2Л, |
|||||
; |
tri~t = іі2л.cos2 яр sin2 Л -j- p2y cos2 Л + u2z sin2 яр sin2 Л + |
|||||
|
+ p2y cos яр sin 2Л —rprz sin 2\p sin2 Л — p2z sin яр sin 2Л, |
|||||
|
mlu = А« Sin2^ + llL C0s2 У + Рл'2 Sin 2ll)> |
|
||||
m2st = |
-j- sin 2Л (p^ cos2 vp + |
p2z sin2 яр — y?yy) -f y?xycos яр sin 2Л — |
---- p2z sin 2яр sin 2Л — p2z sin яр cos 2Л,
40
irCsu = - у sin 2lj) COS A |
— jJL^) — p?xy sin ф sin A -f |
|
||||||
|
-j- pr2 cos 2ф sin A — p? cos фsin A, |
|
|
|||||
ml, = ~ |
sin 2ф sin Л (p,^. — p,^) + |
\?xy sin ф cos A + |
|
|||||
|
+ \i\zcos 2ф sin A -f- |
cos Ф cos A. |
|
( 1. 101) |
||||
Контролем вычислений здесь служит равенство |
|
|||||||
|
ffLss “I" |
+ |
Ah,a = |
j-lxx“Ь [.Іуі/ ~ pzz, |
(1.102) |
|||
а искомые ошибки длины стороны |
L и |
направляющих |
углов ф |
|||||
и А определяются из соотношений |
|
|
|
|
|
|||
mL= |
mss, tri' |
= |
■ |
- • р", |
т = |
■р"-. |
(1.103) |
|
|
Л |
|
L cos ф |
|
ф |
L |
|
|
В тех случаях, когда |
анализу |
подлежат |
пространственные |
построения с небольшим числом точек, для оценки точности урав новешенных элементов сети можно применить также теорему [61] о том, что вес уравновешенного значения измеренного эле мента сети равен сумме весов двух величин: веса непосредствен ного измерения и’ веса того же элемента, найденного косвенным путем по результатам остальных измерений в сети.
При применении этой теоремы используется понятие весового
тензора положения |
точки,, который |
определяется как |
величина, |
обратная среднему |
квадратическому |
тензору ошибок |
положения |
пункта, т. е. |
|
|
|
|
Рк = « ) - ' • |
(1.104) |
Операции с весовыми тензорами по своей сути аналогичны операциям с весами в теории ошибок измерений, и если, напри: мер, для некоторой точки из совокупности многократных измере ний можно вычислить-несколько независимых значений тензоров ошибок М2К, то итоговый весовой тензор положения точки ока
жется равным |
|
Рк. = 2 (М У “ 1= 2РК., |
(1.105) |
а окончательный |
тензорошибок положения этой точки |
опреде |
ляется формулой |
|
|
|
= |
(1.106) |
В ряде случаев операции по оценке точности можно осущест вить с помощью весовых тензоров, используя принцип эквивалент ной замены [61].
5. В заключение обратимся к вопросу оценки точности поло жения пунктов геодезических сетей с учетом ошибок исходных
41
пунктов, и приведем, в соответствии с работами В. А. Коугия [33] и [34], основные расчетные формулы. Согласно этим работам тен зор ошибок положения пунктов сети можно представить как сумму двух тензоров
|
М2 = |
+ Ш *схГг, |
(1.107) |
где Q— матрица |
весовых |
коэффициентов |
уравновешиваемой |
сети; |
квадратический тензор ошибок положения ис |
||
■Л42нсх— средний |
|||
ходных пунктов; |
|
|
|
Г— преобразующий тензор, определяемый уравнением |
|||
|
Г = — QATP0, |
(1.108) |
где А — матрица коэффициентов уравнений поправок;
Р— весовая матрица непосредственных измерений;
Ф— матрица частных производных измеренных величин по координатам исходных пунктов.
Помимо этого основного метода, в работах автора [62] и [63] было показано, что при оценке точности положения точек геоде зической сети с учетом независимых ошибок положения исходных пунктов можно пользоваться той же методикой, что предназна чена для оценки точности положения пунктов без ошибок исходных данных, но с той разницей, что при вычислении корреляционной матрицы непосредственных измерений к квадратам средних квад ратических ошибок измеренных величин следует прибавить квад раты ошибок положения исходных пунктов по направлениям гра диентов измеренных величин.
В обобщенном виде это положение в соответствии с [33] пред ставляется так, что корреляционная матрица М2 , используемая
при составлении весовой матрицы уравнений поправок, должна быть исправлена за счет влияния ошибок исходных данных и по лучена как сумма
М\. = Ml + ФМІа!Фт. |
(1.109) |
Тогда отвечающая ей весовая матрица будет равна
Р' = (ЛГ2,) - ‘. |
(1.110) |
В соответствии с методикой уравнивания зависимых результа тов измерений [34], [30] нормальные уравнения в сети теперь будут получены в виде
АТР'АХ + |
АТР'Ь = 0. |
(1.111) |
А тензор ошибок совокупного |
положения точек |
геодезической |
сети окажется равным |
|
|
ЛГ2 = у?(АтР'А)-1= Ii2Q'. |
(1.112) |
■42
Об о ц е н к е |
т о ч н о с т и п о л о ж е н и я И С З |
в о р б и т а л ь н о м м е т о д е к о р о т к и х д у г |
Определение координат точек земной поверхности по наблю дениям движущихся по орбитам ИСЗ пока применяют только в исследовательских целях. Но по мере накопления наших знаний о природе возмущающих сил и совершенствования техники на блюдений рассматриваемый метод может найти и более широкое применение в практике геодезических работ. Поэтому следует дать вывод строгой формулы для оценки точности положения ИСЗ в орбитальном методе, где он рассматривается как подвижной опорный пункт, так как успешное применение метода коротких дуг зависит от надежности прогнозирования положений спутника на заданный момент времени,, с учетом ошибок определения эле ментов начальной промежуточной орбиты и неточности парамет ров возмущающей функции.
В общем случае точность положения спутника Земли на за данный момент времени может быть охарактеризована тензором
Mc = q,M25fqJ, . (1.113)
где <7( — матрица частных производных координат ИСЗ по элемен там орбиты, М\ —тензор ошибок элементов орбиты на момент
наблюдений.
Элементы матрицы qi, представляемой якобианом
|
|
|
|
|
, дЗ_ |
&а_ дЗ_ дЗ_ _дЗ_ _дЗ_ |
|
||||||
|
|
|
|
|
/ |
да |
де |
ді |
дМ |
да |
дй. |
|
|
|
|
5(5, |
Н, Z) |
_ |
_5Н_ |
_5Н_ |
j>H_ _5Н[ |
_5Н_ _5Н |
|
||||
|
д (а, |
е, і, |
М, |
ш, Q) |
| |
да |
де |
ді |
дМ |
доз |
dQ |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
дЪ_ |
_5Z_ |
_5Z_ |
dZ_ |
_5Z_ |
_dZ_ |
|
|
|
|
|
|
|
'' |
да |
де |
ді |
дМ |
5ш |
dQ |
(1.114) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяются путем дифференцирования уравнений |
(1.16) — (1.23), |
||||||||||||
а именно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5Н |
53 |
дг_ = |
(1 — е cos Е)(cos и cos ß — sin и cos i sin ß), |
(1.115) |
|||||||||
да |
дг |
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д З _ _ дЗ_ дт_ _ö£_ |
_53_ _5г_ |
_5Е_ _5Э_ |
дЕ_ { дЗ_ дЬ __ |
||||||||||
де |
|
дг |
дЕ |
де |
дг |
де |
5& |
дЕ |
|
де |
~Г <Э!> |
де |
|
= а ((cosh cos ß — sin и cost sinß [—esm E------ cos.e ') |
—(1 — ecos£)X |
||||||||||||
|
[ |
|
|
|
|
\ 1 — e cos E |
|
j |
|
|
|
X (sinacosQ-b cos «cost sin ß ^ ——sm & ^
дЗ |
■ |
. |
---- = |
a(l — ecos E) sin a sin i sin ß. |
ді
j> (1-116)
(1.117)
43