Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

Действительно, пусть точка z->w, тогда

T. e. эти точки лежат на одном луче, выходящем из центра

рез Zi и z2 OA = R, поэтому | z11|z2| =ОА2.

Но из геометрии известно, что произведение секущей к ок­ ружности на ее внешнюю часть равно квадрату касательной. Следовательно, ОА — касательная к окружности Q (рис. 44). Поэтому ОА_І_ОіА и окружности ортогональны.

Т е о р е м а 3. Две пересекающиеся окружности Сі И С2, ортогональные третьей С, пересекаются в точках А! и А2, симметричных относительно окружности С (рис. 45).

cz

Рис. 45.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем луч ОАі и допустим, что он пересекает окружность Сі в точке Аз, а окружность С2 — в точ­ ке A4. Но ввиду ортогональности С и Сі, С и С2 имеем:

ОАі ОА3 = R2,

ОАі -0A4=R 2.

П о э т о му ОАз= ОА4. Но А3 и А4 лежат на одном луче, поэто­ му А3 и А4 совпадают и находятся в точке А2. Итак, OArOA2-=R2, что и доказывает теорему.

Т е о р е м а 4. При отображении дробно-линейной функци­ ей точек, симметричных относительно некоторой окружности, они переходят в точки, симметричные относительно образа

Пусть С-*-С\ С|-»-Сі'. С2-э-С2'. и тогда образы С / и С2' булут ортогональны к окружности С/. Точки пересечения zi и z2 окружностей С] и С2 перейдут в точки W) и \ѵ2 окружностей

168

Выясним, во что' преобразуется, верхняя полуплоскость. Возьмем на границе верхней полуплоскости точки —1 , 0,1.

По условию —1->1, 0-м, 1м— 1 . Ввиду кругового свойства дробно-линейной функции следует, что ось ÖX отображается в окружность, проходящую через точки 1, і, —1. Отображение конформное; при движении через —1 . 0, 1 область лежит слева, а поэтому при движении через 1 , і, — 1 образ области, на которую отобразилась верхняя полуплоскость, должна ле­ жать слева. Значит, верхняя полуплоскость отображается на

круг I w I < 1 (рис. 46).

При решении многих задач на конформное отображение приходится с помощью дробно-линейной функции отображать верхнюю полуплоскость на.единичный круг. Таким отображе­ нием является.

w - Z ■ (Э = а + Ы ; b > 0) . z — Р

Эту формулу приводим без доказательства.

169

■ V

■Р и с . 4 6 .

Пр и м е р 2. Найти общую форму дробно-линейной функ­

170