Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

менного формально не отличается от определения предела функции действительного переменного. Фактически же в этих определениях имеется существенное различие. Для функ­ ций действительного переменного выбор последовательности значений аргумента довольно ограничен. Значения аргумента могут быть правее либо левее точки, в которой рассматрива­ ется предел, функции.. Для предела функции действительного переменного достаточно равенства левостороннего и право­ стороннего пределов этой функции. ^

Для функций комплексного переменного рассматриваются точки плоскости. Поэтому^ выбор последовательностей точек, сходящихся к точке, в которой рассматривается предел функ­ ции, может быть более разнообразным. Здесь имеется бесчис­ ленное множество путей, по которым значения аргумента мо­ гут приближаться к своему предельному числу. И во всех воз­ можных случаях последовательности соответствующих значе­ ний функций должны сходиться к одному и тому же преде­ лу, поэтому определение предела функции комплексного пе­ ременного является более ограничивающим, чем определение предела функции действительного переменного.

Поясним вышеизложенное на примере. Пусть функция оп­ ределена на всей плоскости при помощи выражения:

Рассмотрим предел этой функции в точке z^O . Если orpaL ничиться областью действительных чисел, то она имеет пре­ дел, равный нулю, то есть

l.imf(z) = 0 . z 0

39

Перейдем в область комплексного переменного. Возьмем такую последовательность значений аргумента

сходящуюся к нулю. Очевидно, что

l l m f ( z „ « . - j - ) = 0.

Возьмем теперь вторую последовательность значений аргу­ мента

также сходящуюся к нулю. В этом случае

Hmf ( z n - l b ) = 1,

Следовательно, если рассматривать эту функцию в области комплексных чисел, то она в точке z= 0 не имеет предела. Приведенный пример показывает, что требования существо­ вания предела Для комплексной функции являются более жесткими, чем для функции действительного переменного.

Введем принятые обозначения: z = x + iy , Zo=x0+iyo, w = u+iv и А= В+іС. Тогда функцию f(z) можно записать в виде:

f(z) = w = и (х, у) + іѵ (х, у ) .

Пусть lim (z)=A . По определению предела функции ут- z - z 0

верждаем, что для любой последовательности

2h ^2........•••

значений аргумента, сходящейся к Zo = Xo+iyo, последователь­ ность

W, = и(хь у,) + іѵ(х,, у,-) ; W2 = ц(х2, у2) + іѵ(х2, у2); ...

W„ = U (хп, уп) + іѵ (хп, Уп). •••

соответствующих значений функции сходится к числу

А = В-(-іС. Но равенство lim zn=Zo эквивалентно двум ра-

П - * о о

венствам lim xu= x 0 и lim уп = уо действительного перемен­

40

равносильно существованию пределов двух функций от двух

делах функции действительного переменного могут быть пере­ несены без всяких изменений на пределы функции комплекс­ ного переменного.

определяются в соответствии с тем, как это было дано для предела последовательности. Дадим определение первому из этих равенств.

Число А называется пределом функции f(z) при z, стре­ мящемся к бесконечности, если для любого е>0 существует такое число М(е), что для всех значений аргумента z, удов­ летворяющих неравенству |z |> M , выполняется неравенство:

1{(z) — А 1< е .

41

§ 4. Непрерывность функции

можно сформулировать, используя второе и третье определе­ ния предела функции.

Функция w —.f(-Z), непрерывная в'каждой точкеѳбласти D, называется непрерывной в этой области. Свойства непрерыв­ ной функции комплексного переменного следуют из теоремы: для того чтобы функция w = f(z) была непрерывной в точке zo, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мни­ мая части, рассматриваемые как функции действительных пе­ ременных X и у, были непрерывными в той же точке.

Н е о б х о д и м о с т ь

Пусть функция f(z) =ц(х, у)+іѵ(х, у) является непрерыв­ ной в точке г0=х<гИу0..Это означает, что

Hraf (z) = f (г»)...

z -‘■Z.I

Но последнее равенство эквивалентно двум следующим ра­ венствам:

42

Записанные два равенства равносильны равенству:

Ilm f (z) = f Z-Z0

Следовательно, функция f(z) непрерывна в точке z0. Доказанная теорема позволяет многие свойства непрерыв­

ных функций двух действительных переменных непосредствен­ но перенести на непрерывные функции комплексного перемен­ ного. Перечислим некоторые из них.

1. Сумма, разность, произведение и частное двух непре­ рывных функций в точке z0 есть функции, непрерывные в той же точке. Для частного исключаются те точки, в которых зна­ менатель обращается в нуль.

б) модуль функции f(z) достигает в области D своей ниж­ ней и верхней границы;

в) f(z) равномерно непрерывна в области D. Равномерная непрерывность функции комплексного пере­

менного определяется так же, как и для функции действитель­ ного переменного. Именно; функция f(z) называется равно­ мерно непрерывной в области D, если для любого е существу­ ет такое 8 (е)> 0 , что для любых двух точек Ъ\ и Z2 области D, удовлетворяющих неравенству

■ ['Zi — z2 I С 8,

выполняется неравенство:

I f (zi) - f (z2) I < £ .

В заключение дадим понятие обобщенно-непрерывной функции. Определяя непрерывность функций в точке z<>, мы

предполагали, что Ц го)^«». Но при изучении отображений, даваемых комплексными функциями, рассматривают случаи, когда функция в некоторой точке обращается в бесконеч­ ность. Поэтому целесообразно снять сделанное ограничение и

43

дополнительно определить непрерывность функции в точках, в которых она обращается в бесконечность.

то рассматриваемая функция будет обобщенно-непрерывной во всей плоскости.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§1. Определение рациональной функции

В§ 1 главы второй дано теоретико-множественное опреде­ ление функции комплексного переменного. В теории функций комплексного переменного используется оперативное опре­ деление понятия функции. Сущность оперативного определе­ ния функции заключается в следующем.

Функция w =f(z) считается заданной на множестве Ez, ес­ ли указано, какие математические операции и в каком поряд­ ке нужно произвести над числовыми значениями независимого переменного z из множества Ег, чтобы получить соответству­ ющие им значения зависимого переменного w. Такое опера­ тивное определение функции впервые было дано Эйлером. Оно не противоречит теоретико-множественному определению функции. Оперативное определение функции является частным случаем теоретико-множественного определения. При теоре­ тико-множественном определении функции закон соответствия

44