Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

§ 4. Разложение многочлена на множители

Т е о р е м а . Всякий многочлен P(z) степени п ^ І может быть разложен единственным способом на п линейных множи­ телей :

крайней мере, один комплексный нуль. Обозначим его через

где Pn-a(z) есть многочлен, степень которого п—а^О . Если п—а = 0, то Pn-a(z) — постоянное число, и разложение закон­ чено.

Многочлен Рп-с (z) в силу основной теоремы алгебры име­ ет, по крайней мере, один нуль.-Обозначим его через Ь, а его кратность через ß. Этот многочлен будет удовлетворять тож­ деству

представлял бы постоянное число и процесс разложения мно­ гочлена Р (z) на множители оказался бы законченным. Будем считать, что имеет место первое из указанных соотношений. Тогда относительно многочлена Рп- <*—р (z) можно повторить все предыдущие рассуждения.

Процесс выделения линейных множителей на некотором линейном множителе закончится. Числа а, ß, ... — положитель­ ные. Степень каждого следующего многочлена понижается на число, равное кратности нуля предшествующего многочле-

50

на. Поэтому на некотором этапе степень следующего много­ члена окажется равной Нулю. Обозначим через Р п_а_р_..._* (z); последний из многочленов с отличной от нуля степенью. И пусть число I будет его нулем кратности Я, а сумма кратно­ стей всех нулей равна степени данного многочлена P(z), то есть

равна нулю, то есть он сводится к постоянному числу А. Чис­ ло А не может быть равным нулю, потому что P(z) ^ 0 . Заме­ няя в выражении (36) многочлен Рп_а-р— (z) числом А, по­ лучим разложение (32).

Докажем единственность разложения (32). Допустим, что многочлен P(z), кроме разложения (32), имеет еще одно, от­

Получено тождество двух многочленов одинаковой степени.

Тождество (39) справедливо при любых значениях z, в част­ ности, при z= а. Подставим z = a в тождество (39):

Из равенства (40) следует, что число а равно одному из чи-

сел a', b', ..., Положим, что а = а' . Тогда тождество (39) пе­ репишем так:

Но последнее равенство невозможно, потому, что число а не может равняться ни одному из чисел b' ..., V, так как а = а'. Полученное противоречие доказывает, что а = а'. Итак, а = а' и а = а'. Теперь тождество (39) запишем в таком виде:

{г ~ Ъ У • . . • (г - I f г- (z — Ь')э • ... • (z — V f . (42)

Аналогично предыдущему можно доказать, что

Следовательно, разложения (32) и (37) не являются различ­ ными. Значит, для многочлена P(z) существует только един­ ственное его разложение на линейные множители.

Используя это свойство, докажем следующее. Многочлен п-й степени не может иметь более п нулей.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дан многочлен P(z) степени п. Этот многочлен единственным способом разлагается на ли­ нейные множители:

P(z) = A(z — af (г — b)p • ... • (z — If.

Отметим, что a+ß+...-j-A = n.

Допустим, что многочлен P(z) имеет еще один нуль г0, от­ личный от нулей а, Ь, ..., /. Из нашего предположения следует справедливость равенства

A (Zg - a f { z 0 - Ь)°' • ... • (z0 — I f = 0 .

Так как z0 отлично от чисел а, Ь, ..., I, то записанное равенство возможно только при условии, если А= 0. Но тогда P (z)= 0 , то есть P(z) есть нулевой многочлен, что противоречит усло­ вию теоремы. Полученное противоречие доказывает вышезаписанное свойство многочленов.

§ 5. Дробные рациональные функции, их нули и плюсы

Дробной рациональной функцией R(z) называется функ­ ция, которая получается в результате выполнения над ком­ плексным переменным z и постоянными числами действий

52

§ 6. Разложение дробной рациональной функции на элементарные дроби

Пусть дана несократимая правильная дробно-рациональ­ ная функция

П/-Ч. Р(») R(z) Q (z) ’

в которой степень P(z) равна ш, а степень Q(z) равна п, при чем ш<Сп. Пусть знаменатель дроби Q(z) разлагается на ли­ нейные множители:

Q(z) = (z —a)*(z — b)ß ... (z — /)х,

где а, b, ..., / — попарно не равны между собою. Постоянный множитель этого разложения отнесен к числителю.

В этих предположениях докажем: всякац рациональная

54