Файл: Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие.pdf

+ч~ С3632 -j- . . . = А Р2

: ■'лученная система называется каноническим уравнением Галеркина для изгибаемого стержня. Решив совместно урав­ нения (II. 33), мы найдем значения всех параметров Cj , а следовательно, и уравнение изогнутой оси изгибающей балки.

Применимость полученных результатов продемонстрируем на конкретном численном примере.

Пример I. 1. Пусть требуется построить функцию, опре­ деляющую изогнутую ось балки, лежащей на сплошном упру­ гом основании (рис. II. 2). Изгибная жесткость рассматривае­ мой балки меняется по закону:

Рис. II.2

EJ{x) = EJ0

Коэффициент жесткости грунтов основания и внешняя распределенная нагрузка изменяется по следующим линейным законам:

Так как в рассматриваемой задаче начальное сечение балки свободное, то Mo= Q o= 0 и поэтому согласно (II. 29) аппрок­ симирующая функция примет вид:

70

Для определения, неизвестных начальных параметров у0 и 0О

Приближенное решение задачи представим в виде:

EJ0’ Т EJ0’

Каноническая система (II. 33) при этом примет вид: ai6n = =Api из формулы (II. 31) имеем:

Sl, = ( i + l ) / £ y„

Формула (II. 32) дает выражение грузового члена: 1

AP ^ ^ q j ( l - x r d x = -q ^ ,

71

Тогда решение рассматриваемой задачи в первом приближе­ нии примет вид:

при Я = 10, 0оМ = 0,0625т (I—х)2; при Я = 100, г/о(Х> = 0,01923т (I—х)2.

U

Подставляя значения единичных и грузовых интегралов в систему (II. 35) и решая ее относительно параметров а\ и а2, получим:

72

при X = 100, у0(х) = 0,028877 (7 -х )2- 0 ,0 1664 -1 (/ - х)4;

Единичные и грузовые интегралы в этой системе имеют зна­

чения:

I I

=( — + — ) /7^70 1 7 132,

jc(/ - xY'-dx +180 E h x(l — x ) XQdx +

73

Решение задачи имеет вид:

при /. = 100

Рассматриваемая задача решена Я. А. Пратусевнчем мето­ дом Галеркпна [58] .При этом аппроксимирующая функция принята в виде:

00

г 1

Эта же задача, для сравнения результатов, решена нами мето­ дом'последовательного приближения по формуле (II. 17) 1751 Сравнение результатов показало, что значения прогиба на­ чального сечения балки, вычисленные в первом приближении по предлагаемому методу п методу Бубнова-Галеркпна, сов­ падают.

Во втором же приближении значения прогиба указанного сечения балки по этим решениям отличаются только в четвер­ том знаке. По методу последовательного приближения зна­ чения прогиба балки при втором и третьем приближениях сов­ падают. Следовательно, по этому методу два приближения становятся достаточными для определения расчетных величин.

§ 8. Устойчивость гибких фундаментов глубокого заложения при продольно-поперечном изгибе

Рассмотрим гибкий фундамент глубокого заложения (за­ бивные пли набивные сваи различных типов, различные виды длинных пустотелых фундаментов, шпунтовые стенки и др.) переменного по глубине сечения, прорезающий неоднородные грунты, имеющие переменную по глубине сопротивляемость (несколько напластований), подверженный действию на уровне поверхности грунта вертикальной Р и поперечной нагрузки Qo, а также момента М0 (рис. II. 3). Дифференциальное урав­ нение изогнутой оси конструкции будет иметь вид:

74

(11.36)

Задача об устойчивости рассматриваемых конструкций 1удет заключаться в отыскании значений «критических нагру­ зок», при которых уравнение (II. 36) имеет нетривиальное ре­ шение, удовлетворяющее возможным краевым условиям рас­ сматриваемых задач. Особый интерес, при этом, представляет наименьшая критическая нагрузка, значение которой опреде­ ляется из характеристического уравнения устойчивости рас­ сматриваемой конструкции. Последнее уравнение можно со­ ставить исходя из построенного решения продольно-попереч­ ного изгиба балки при Ф (Х )=0, т. е. общего решения одно­ родного уравнения (II. 36).

В этом решении фигурируют два статических (М0, Qо) и два кинематических (уо, 0О) параметра. Из указанных четы­ рех параметров два всегда заранее известны. Относительно оставшихся двух параметров составляется два — уравнение исходя из условия на нижнем конечном сечении (подошвы) конструкции. При этом получается система линейных одно­ родных уравнений. Возможность существования ненулевых ре­ шений для полученной системы требует равенства нулю детер­ минанта этой системы, составленного из коэффициентов при неизвестных начальных параметрах. Это и будет уравнением для определения критических нагрузок (собственных чисел).

75