Файл: Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие.pdf

Рис. IV. 12

Рис. IV.13

Как видно из рис. IV. 12, при действии внешней нагрузки эпюра к(х) симметрична относительно середины здания. При­ чем в зоне замачивания (к(х) принят изменяющимся по коси­ нусоиде, а на незамеченном участке — постоянным, равным к0. В случае просадки основания только от собственного веса грунта эпюра к(х) прямолинейна (рис. IV. 13), т. е. в зоне за­ мачивания постоянна, равная Кг-

Более обобщенная формула для определения коэффициента жесткости увлажняемого лессового основания может быть представлена в виде (рис. IV. 14):

136

Рис. IV. 14

Легко можно заметить, что формула (IV. 19) полностью совпадает с видоизмененной нами моделью С. А. Ривкина (ф-ла II. 4), если принять:

увлажняемых просадочных, но и для обычных связных грун­ тов и поэтому она успешно может быть использована в расче­ тах конструкций на сплошном упругом основании.

В заключение рассмотрим существующие различные фор­ мулы коэффициента жесткости увлажняемых лессовых основа­ ний для случая, когда случайное замачивание основания про­ исходит с обоих торцов здания.

Более удобную формулу для расчета стен крупнопанель­ ных жилых зданий дает Б. А. Косицын [111] (рис. IV. 15):

Рис." IV. 15

137

т

Здесь а — коэффициент изменчивости сжимаемости основа­ ния для случая прогиба здания определяется:

Дщах

к — жесткостная характеристика основания в сечениях х-— = ± 1, определяемая по формуле

3/сСр

К = 1 + 2а

Таким образом, как видно из приведенного обзора, жест­ кость просадочных грунтов в основаниях здании и сооружений в зависимости от расположения источника увлажнения, мо­ жет изменяться как по характеру, так и по величине в доволь­ но широких пределах. Общая формула, характеризующая из­ менение жесткости просадочных грунтов с учетом их типа, особенности увлажнения и загружения оснований отсутствует и, пожалуй, не может существовать. Поэтому задача расчета

138

здания сводится к обоснованному выбору наиболее вероят­ ной картины изменения жесткости основания при их случай­ ном увлажнении и определении на ее основе напряженнодеформированного состояния несущих конструкций. Если ра­ счет стены выполняется по схеме балки на сплошном упругом основании, то жесткостная характеристика увлажняемого ос­ нования, а также и самого здания, служит при этом перемен­ ным коэффициентом в дифференциальном уравнении изгиба балки.

Наиболее эффективным методом построения решения этой задачи, позволяющим без особого затруднения варьировать эпюрой изменения жесткости зданий и их увлажняемых осно­ ваний, с целью охвата всех встречаемых в практике случаев, является разработанный нами метод последовательного при­ ближения.

Ниже, на основе выведенного уравнения задачи, этим ме­ тодом дается решение наиболее общей постановки изгиба стены крупнопанельных зданий на увлажняемых просадочных грунтах.

§ 4. Дифференциальное уравнение задачи

При расчете крупнопанельных зданий на просадочных грунтах коробка здания для упрощения задачи рассматри­ вается на балке с одной или двумя обобщенными жесткостя­ ми. Основание характеризуется моделью с одним коэффициен­ том жесткости, переменным по длине балки. Мы будем рас­ сматривать более общую постановку. Приведенные изгибные п сдвиговые жесткости коробки здания будем принимать переменными по длине, т. е. зависящими от х. Коэффициент жесткости увлажняемого основания также будем принимать переменным, зависящим от х. Нагрузку на систему будем счи­ тать произвольной, зависящей также от х. В частном случае она может быть принята равномерно-распределенной, равной всей нагрузке от здания, вызывающей деформацию основания (за минусом бытового давления), и отнесенной к длине зда­ ния.

Начало координат поместим в левом свободном конце балки (рис. IV. 17). Тогда граничные условия задачи выразят­ ся через начальные параметры следующими соотношениями:

139

Рис. IV. 17

Принимая справедливой гипотезу плоских сечений, выве­ дем дифференциальное уравнение рассматриваемой балки на сплошном упругом основании.

Известно, что между перемещениями от изгиба у„ (х) и изгибающими моментами М(х) существует обычное соотно­ шение:

Полное перемещение стены определится суммой:

У(а ) =--- Ум (а') + Уо (а )

Последовательно дифференцируя последнее выражение по переменной х дважды и подставляя в него значения уы( а ), ycj (’х) из (IV. 23) и (IV. 24), получаем:

Используя метод местных упругих деформаций, можно со­ ставить равенство:

где q(X)—произвольная внешняя нагрузка, действующая на балку; к(х)—переменный коэффициент жесткости грунта ос­ нования.

Последовательно интегрируя (IV. 26) в пределах от 0 до х и подставляя полученные значения М(х) и Q(x) в (IV. 25), получаем:

EJ(х)у"(х)= I I [q(х)—к(х)у(х)\dxdx—

о о

X

- Е 1 (х) J q(x)—K(x)y(x)dx GF(а )

Продифференцируя дважды последнее выражение по пере­ менной х, будем иметь:

\EJ(x)y"(x)]" = </(а ) — к(х)у(х) -

]' (у(х) - к(х)у(х) dx

о__________________

GF(x)

Откуда для поперечного изгиба стены в окончательном виде получим следующее интегро-днфференциальное уравнение:

141

Полученное уравнение поперечного изгиба стены относит­ ся к обыкновенным однородным •линейным дифференциаль­ ным уравнениям с переменными коэффициентами. Очевидно, что коэффициенты этого уравнения EJ(x), GF(x) и к(х) в за­ висимости от характера изменения жесткости стены, а также 'от коэффициента жесткости упругого основания здания в об: щем случае могут быть как прерывными, так и кусочно-непре­ рывными функциями.

Построить замкнутое решение уравнения (IV. 27) невоз­ можно, т. к. его общее решение не получается выраженным через элементарные функции. Поэтому для решения указан­ ного уравнения возможно применить только различные при­ ближенные методы. Можно также применить и вариационные методы, к числу которых следует прежде всего отнести методы Лагранжа-Ритца и Бубнова-Галеркина.

В более упрощенной постановке с использованием прямого

Методом начальных параметров решение задачи получено также Крыловым А. Н. [125] п Уманским А. А. 11261 для слу­ чая постоянной равномерно-распределенной нагрузки и сосре­

142