Файл: Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
Для случая загружения балки с жесткостью EJ равномер но распределенной нагрузкой, применив принцип минимума потенциальной энергии и задаваясь кривой изгиба в виде ква дратной параболы, Д. Д. Сергеев [129] получил достаточно простое решение уравнения (IV. 27) в первом приближении.
Используя метод сил и заменяя сплошное основание пере менной жесткости системой упруго оседающих опор, В. И. Лпшак [92] в наиболее простом виде получил решение этой за дачи.
Задача расчета стен на упругом основании переменной жесткости рассматривалась также П. П. Шагнным [94].
Ниже на основании разработанного метода последователь ных приближений дается решение задачи изгиба крупнопа нельных зданий на просадочных грунтах в наиболее общей постановке.
§ 5. Построение общего решения рассматриваемой задачи
Решим уравнение (IV. 27) методом последовательного приближения. Для этой цели указанное уравнение предста вим в виде:
\ e j ( x ) d‘yfx) 1 |
d2 |
EJ( x ) |
\(q(x) — K(x)y(x))dx |
|
dx 2 |
0 |
|
||
dx2 ~ |
L |
GF(x) |
J |
|
|
|
—K(x)y(x)+q(x)
Произведя интегрирование последнего уравнения в пределах
от 0 до х и используя условие |
[EJ (х) у"(х)\^,.о— Q0, получим |
||
в общем виде выражение для перерезывающей силы: |
|||
А |
EJ (х) d2y (x )~ |
Q{x) = |
А X |
dx |
dx 2 |
t■ |
dx |
|
X |
|
|
EJ(x) |
l{q{x) — K(x)y(x))d.x |
K{x)y{x)dx-\- |
|
|
GF(x) |
|
и |
|
+ q(x)dx+Qo |
|
О |
Еще раз интегрируя |
последнее выражение в тех же пределах |
и используя условие |
[EJ (х)уа (х)]х.-о=Мо, получаем выраже |
ние изгибающего момента в виде:
143
\[q{x)—K(x)y(x)]dx
E J ( x ) ^ p - = M { x ) = - E J ( x )
d x2 |
GF(x) |
|
|
XX |
XX |
— | | /v (-v)у (x) dxdx~\~ j'j q (x'j clxdx-\-i\\q~\-CIqX oo oo
Разделив обе части последнего выражения на EJ(x), бу дем иметь:
d 2y(x) |
.1[q(x)—K(x)y(x)]dx |
XX |
|||||
1 |
X |
||||||
dx2 |
о |
|
|
F.J(x) |
|||
GF(x) |
|
|
|||||
|
|
|
о о |
|
|||
X к(х)у(х)dxdx+ |
|
q ( x ) d x d x + - Q ^ + |
Мп |
||||
|
E J ( х ) |
о о |
|
Е](х) |
EJ (х) |
||
|
|
|
|
от 0 до х и ис |
|||
Интегрируя последнее уравнение в пределах |
|||||||
пользуя условие г / ' ( О ) = 0о, |
получаем выражение для угла по |
||||||
ворота сечения балки в виде: |
|
|
|
|
|||
dy(x) = |
0(х) = |
1 |
[q(x)—K(x)y(x)]dx— |
||||
dx |
G F ( x ) |
U |
|
|
|
||
dx |
n(x)y(x)dxdx-\- |
dx |
q (x) dxdx + |
||||
J Ы(х) |
EJ(x) |
||||||
0 |
|
0 |
0 |
|
|||
о |
|
0 |
|
||||
+ |
Qo l - ^ r |
+ M |
0 |
dx |
Qo |
|
|
EJ(x) |
|
||||||
|
EJ(x) |
' |
" J |
|
|
||
|
о |
|
о |
|
|
|
|
Уравнение изогнутой оси балки представится в виде:
У ( х ) = — |
f |
f [q(x) - K(x)y(x)]dx - |
|||||||
|
|
|
J GF(x) |
J |
|
|
|
|
|
XX |
XX |
|
|
XX |
|
XX |
|||
dxdx |
f |
Г /с (jc) г/(л:) rfjcrfjc-f- |
(* |
(* |
EJ(x) |
| |
\ q(x)dxdx + |
||
EJ(x) |
0 |
0 |
|
|
0 |
II |
0 |
0 |
|
0 0 |
|
|
|
||||||
|
^ |
XX |
, .. |
XX |
dxdx |
, |
. |
||
+ |
|
xdxdx |
С C |
||||||
Qo M |
~r,~ —г + ^ o |
\ 1 |
г , , |
+ 0o*+*/o |
|||||
|
|
о о |
EJ(x) |
|
о 0 |
|
EJ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
144
Так как стена здания будет представляться как балка со свободными концами, то в дальнейшем всегда будем иметь /Vi0= Q 0= 0 . Поэтому уравнение изогнутой оси рассматривае мой балки будет иметь вид:
у(х) = у0 |
в0х -1- |
' |
|
|
Г {q(x)dxdx - |
dx |
[<?(-0 |
|||
|
|
т |
||||||||
|
|
о и‘ £7( 0 |
J J |
|
J |
GF(x ) |
|
|||
- k{x)y{x)\dx — | |
j |
j | |
k(x)y(x)xdx |
|
||||||
Введя обозначение |
|
|
no |
oo |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уо(х) = y 0 + |
^ |
+ | |
| |
^ |
|
) X^ q { x ) d x d x - ^ |
|
q(x)dx |
||
|
|
0 |
0 |
|
|
0 0 |
- |
о |
о |
|
уравнение изогнутой оси балки представим в виде: |
|
|||||||||
У(х) = |
Уо(-О - |
|
Г( |
f |
f k(x)y{x)dxdx + |
|
||||
|
|
|
|
J J |
EJix ) J J |
|
|
|
||
|
|
|
x |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
J |
GF(x) J k№ y W dx |
|
(IV.°8) |
||||
Решение |
|
|
и |
|
|
0 |
|
|
|
будем |
последнего |
интегрального уравнения |
|||||||||
строить методом последовательного |
приближения. |
С этой |
||||||||
целью в качестве аппроксимирующей функции для изогнутой
оси балки примем функцию Уо(х). |
|
|
|||
Подставляя |
в правой |
части |
уравнения (IV. 28) вместо |
||
у(х) функцию Уо(х), |
получаем первое приближение задачи в |
||||
виде: |
|
j j |
[Jk{x)y0(x)dxdx + |
||
У\{х) = |
Уо(-0 - |
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
x
X
dx
k(x)yQ(x)dx
GF(x)
оо
Заменяя далее в (IV. 28) у ( х ) — у\(х) и поступая так даль
ше, |
получаем последовательность функций yi(x), y'i{x).... |
(я), |
таких, что: |
145
X X |
X X |
d.xdx |
k(x)yn^ ](x)dxdx -f |
Уп ( а ) = Уо(л-) — |
|
Щ х ) |
о |
0 |
dx
| k(x)yn i{x)dx
GF(x)
h
Очевидно, построенный таким способом ряд не зависит от функций 1/о(х) и потому предел у(х) функций у п (х) также не
будет зависеть от функции Уо(х), с которой мы начали строить приближение.
Но, однако, быстрота сходимости построенного приближе ния в каждом конкретном случае будет зависеть от формы
функции уо(х) и может быть оценена в зависимости от харак тера функций EJ(x), GF(x) и к(х) известными способами высшей математики.
Каждая |
из функций У \ ( х ) , у2(х),..., входящих в выраже |
ние у п (х), |
содержит в себе два начальных параметра уп и 0О. |
Составляя в развернутом виде п-ое приближение и вынося со
держащиеся в |
каждом приближении начальные |
параметры |
|||
за скобки, приближенное |
решение уравнения (IV. |
27) |
можно |
||
представить в виде: |
|
|
|
|
|
Уп |
(х) — уоЛ (х) -|-Q0fl (х) + С(х) |
(IV. 29) |
|||
Функции А{х), В(х) и С ( а ) , входящие в (IV. |
29), |
оире- |
|||
деляются выражениями: |
|
|
|
|
|
А(х) |
= /=?'(а ) + |
/ f |
’q(a ) + / ? ( а ) |
|
|
В(х) |
= / f (a ) + |
/ f |
’q(a ) + /=?(*) |
|
(IV.30) |
C(x) = Fl\x) + f f ’Q(x) + F$(x) |
|
|
|||
Функции Fi' (x) и ^Р(л') |
зависят соответственно |
только |
|||
от изгибной и сдвиговой жесткости, a F ^ ,Q(x) от совместного влияния как изгибной, так и сдвиговой жесткостей и опреде ляются следующими выражениями:
СО |
|
|
|
|
F?(x) = 1 + V |
( - |
I)" |
[П2?(а )£ (* )]" ; |
|
п |
1 |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
F2 (x) — , r - f - V ( - |
1)п |
\r\-2's(x)k{x)]n- lY\2'i{x )xk{x) ; |
(VI.31) |
|
|
|
|
|
|
П—I
146
Fl\x) = Yl2v{x)q(x) + V ( _ l ) n |
x |
||
|
X [П2?(л')^(л-)]п- 1П2?(х)/г(л-)П2?(л')^(л-) |
||
|
00 |
|
1 |
|
|
|
|
^ • Q(x) - |
- V |
{ ( - 1)" |Ч2?(л')А(л')]п ni^(x)k(x).+ |
|
|
Пв1 |
|
|
+ IП Ж Л' )k(x )\— 111у?(x)k(x)) ; |
|
||
F?'q(x )= |
- :V |
( ( - 1 ) “ [П2?(л-)/г(л-)1'-'II,Mx)xk{x) + |
|
|
jmmi |
|
(VI.32) |
|
П—1 |
||
+ [ 11,ф(jt)A(л-)]""1TJ29(л:)л*/г(Л')] |
; |
||
f f ’Q(x)= - V | ( - l ) " [П2ср(л-)А(л)]-'П2?(л:)/г(А-)Х jked
П•—1
ХП|'1>(*)<7(л )+[П,-Ь(л')£(*)п- 1П,'})(л')/г(^)1Т2?(л')7(а )|
Р? ( х ) ^ ( - \ у ^ > ( х Щ х ) } п ;
П1
F$(x) = У ( - т и М х Щ х ) ] * - ' П,'Ь(Л-).^(Л') : |
|
(1V.33) |
||
|
n--l |
|
||
|
|
|
||
/f(Jc)= |
- П^(х)д{х) + У 1( - \ ) ^ \ и , Ц . ф ( х ) } ^ |
X |
||
|
n—t |
|
|
|
|
x П,-Ь(Л:)k(x) П,’|;(а )9(л-) , |
|
|
|
где III |
и П2 интегральные операторы: |
X |
|
|
|
X |
|
||
ll^(x)k(x) - II01'b(A)II0,ft(A) = §ty(x)dx$k(x)dx ; |
||||
|
|
О |
|
|
П2сo(x')h(x') — Hqocc(a)Ho9/s(a) — ^ o{^x)dxdx |
X X |
hi^x^dxdx ^ |
||
U0 |
||||
|
00 |
|
||
над функциями cp(X) = \jEJ(x), ®(х) — \/GF(x) |
и k(x) . |
|||
Формулы угла поворота, изгибающих моментов, перерезы вающих сил и реактивного давления грунта основания имеют
вид: |
|
|
|
|
0(a) — у0А'(х) + В0В'{х) + С'(х) ; |
|
|
||
М(х) = у0А"(х) + %В"(х) + С"{х) ; |
|
(VI.34) |
||
Q(x) = у0Л'"(х) + 0ОВ"'(х) |
+ С"(х) |
; |
||
|
||||
р{х) = [^qA(jc) + В0В(х) + |
С(х)] k(x) . |
|
||
147