ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 77
Скачиваний: 0
178 ГЛ. 9. РЯДЫ ФУРЬЕ
Тогда
|
e'"-l' + e - " » |
|
. —ешх + |
е-и1Х |
2 1 ^ У " |
2 |
1 " |
2 |
|
л = 1 |
|
|
|
|
т. е., |
объединяя степени |
с |
одинаковыми |
показателями, |
||||||
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (*) = Ц. + |
2 |
( ^ Ч р ^ - еі п * + |
|
«-"»*). (9.22) |
||||
|
|
|
л = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Введем |
единообразные обозначения: |
|
|
|
||||||
|
|
°° — г |
ап — Ьпі _ |
. |
а л + М _ |
. |
"* |
/п оо\ |
||
|
|
2 —Lo> |
|
9" |
— ° « > |
2" |
|
^э.ло^ |
||
Тогда |
|
(9.22) превращается |
в |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
со |
|
|
со |
|
|
|
|
|
f ix)=с0 |
+ 2 с«еіпл + |
2 с-"е'іпх' |
|
|
||||
|
|
|
|
п = 1 |
|
|
Л = 1 |
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f W = |
|
У с„е'п*. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Л = |
— С О |
|
|
|
|
Таким образом, мы получили разложение |
функции |
|||||||||
f(x) |
в |
функциональный |
ряд с |
комплексными |
членами. |
|||||
Он называется рядом |
Фурье в комплексной |
форме. Коэф |
||||||||
фициенты этого ряда можно вычислять не только по
формулам (9.23) |
из коэффициентов ряда |
Фурье |
(9.21), |
но и непосредственно, минуя нахождение |
ап и |
Ьп. |
|
В самом деле, вспоминая определения коэффициен |
|||
тов ап и Ьп, мы |
имеем |
|
|
"1
сп = -g {ап — bj) =
я
=iE \
—л
я
1 С
V / (х) (cos пх — t sin-/«) dx =
— я
( c o s ^ ~ ~ п х ^ г s i n ^ ~ п х ^ ^ х ~
я
§ 13. РАЗЛОЖЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ |
179 |
и аналогично
1 |
1 |
я |
|
|
с |
+ isinnx)dx |
= |
||
с_л == 2" ( а „ + |
==2^ |
\ f(x)(cosnx |
||
|
|
— я |
|
|
|
|
л |
я |
|
= |
2Ä S f{*)énxdx=± |
$ /(*)*-'<-*>* Лс. |
||
|
— я |
— я |
|
|
Следовательно, при любом целом п = 0, ± 1 , ± 2 , . . .
я
C e = = S ï J î(x)e4nxdx. |
(9.24) |
— я |
|
Если функция f(x) вещественная (а до сих пор мы только такие функции и рассматривали), то из формул (9.23) следует, что коэффициенты сп разложения в комп лексный ряд Фурье являются комплексными сопряжен ными числами. Для модулей этих чисел мы имеем
| с ± л | = ~\anqzbni\ |
=^Van + b%. |
Вспоминая интерпретацию разложения функции в три гонометрический ряд Фурье как представление движе ния в виде суммы (суперпозиции) гармонических коле баний (см. § 4), мы видим, что модули коэффициентов комплексного ряда Фурье являются амплитудами соот ветствующих гармоник.
§ 13. Разложение в комплексный ряд Фурье
Непосредственное разложение функций в 'комплекс ный ряд Фурье на основании формулы (9.24) часто ока зывается удобнее, чем вычисление коэффициентов этого ряда через коэффициенты вещественного ряда Фурье по формулам (9.23).
П р и м е р . В качестве примера рассмотрим разложение в комплексный ряд Фурье функции /(a)=e<w на сегменте [ — я, я] .
7*
180 |
ГЛ. 9. РЯДЫ ФУРЬЕ |
При любом п мы здесь имеем |
|
я |
я |
я |
—я |
|
я |
= |
J L _ * |
e(a-ln)x |
= |
J _ 1 |
/ с ( а - і п ) я |
|
2п<х — іп |
|
|
2л а —m |
|
— я Заметим, что для любого целого п
e""t=cos /ш + t sin пя = соз я я = (— 1)п .
Поэтому
C r t = _ір]УЦ (е -_е —) _Ь2£s h а п
й - ( а - in) я\
.
" 2 я ( а — іл) |
|
л |
a —in |
Таким образом, искомым разложением будет |
|
||
gax. |
shanî |
ViY (—1)"е'"-у |
|
|
|
|
|
a —in
Г Л А В А 10
УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ
§ 1. Уравнение свободных малых колебаний струны
Пусть мы имеем дело с гибкой упругой струной. Гибкость струны означает, что напряжение в ней может быть направлено только вдоль струны. Упругость струны означает, что процесс ее деформаций обратим, т. е. что при нем не происходит потери энергии. Струна будет считаться тонкой, т. е. ее поперечные размеры прини маются пренебрежимо малыми по сравнению с ее длиной.
Пусть длина струны равна /, а в состоянии равно весия струна расположена вдоль оси ОХ между точками х=0 и х=і. Если вывести струну из состояния равно весия, подвергнув ее действию какой-нибудь силы, то струна начнет колебаться. Будем считать, что движение всей струны происходит в одной плоскости и что каж дая ее точка движется перпендикулярно оси ОХ. Сме щение точки струны с координатой х в момент времени t будем обозначать через и (х, t) или просто через и. Пред положим далее, что все деформации струны малы. Под этим мы будем понимать, что малы как смещения и каждого из элементов струны, так и их повороты и'х.
Рассмотрим элемент струны (см. рис. 10), который в положении равновесия имеет концами точки хи х-}- Ах. Пусть в результате отклонения струны в некоторый мо мент времени этот элемент переходит в положение ММ'. Очевидно, длина элемента ММ' равна
х+ А*
X
182 |
ГЛ. 10. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ |
что в |
предположении малости угла поворота элемента |
(и тем самым тангенса этого угла) приближенно равно Ах. Рассмотрим воздействие на элемент ММ' равнодей ствующей вертикальных составляющих сил натяжения Т,
|
действующих |
на |
его концы. |
|||
|
Эти силы действуют в направ |
|||||
<р+А(рлении |
касательных к струне. |
|||||
|
Обозначим углы, |
образуемые |
||||
|
этими |
касательными с |
осью |
|||
|
ОХ, через ср и ф + Лф. Тогда |
|||||
X |
вертикальная |
составляющая |
||||
равнодействующей этих |
двух |
|||||
Рис ю. |
сил натяжения |
будет |
равна |
|||
Т sin (ф + Аф) — Т sin ф. |
||||||
|
||||||
Ввиду малости углов ф и ф-f Аф мы можем синусы заменить тангенсами:
ntgfo + AqO-tgq)).
Но тангенсы углов наклона касательных равны произ водным:
|
ди |
(10.1) |
|
' |
дх |
||
|
|||
М' |
м |
|
Сила инерции, действующая на элемент ММ', очевидно равна
Ö2« Ах, |
(10.2) |
где р — масса единицы длины струны. На основании (10.1) и (10.2) мы согласно закону Ньютона можем написать
|
Г (s |
du |
дЧ |
а |
|
"дх |
= Р-Я5ГД*. |
||
|
M |
M |
|
|
или, деля |
обе части |
этого |
равенства |
на Ах и переходя |
к пределу |
при Длг^-со, |
|
|
|
тд2и д*и