Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

абсолютный максимум функции свободной энергий, являются единственными.

В § 2 рассмотрен вопрос о справедливости теоремы, аналогичной (теореме 3.1) для случая модельной системы с положительными компонентами взаимодействия при произвольной неконкретизированной форме операторов

Т и /.

Показано, что в общем случае неконкретизированных операторных форм Т, J (для взаимодействия типа «от­ талкивания»), удовлетворяющих общим условиям (та­ ким же, что и для теоремы 3.1), свободная энергия, построенная на основе модельного гамильтониана, не стремится при V -> оо к свободной энергии, построенной на основе соответствующего аппроксимирующего га­ мильтониана.

В § 3 главы 4 исследована задача о вычислении свободной энергии и корреляционных средних для мо­ дельной системы с положительным четырехфермионным взаимодействием, соответствующим отталкиванию фер­ мионов. Существенным отличием здесь от случая систем с отрицательным четырехфермионным взаимодействием (см. главу 3) является то, чтосвободная энергия, по­ строенная на основе аппроксимирующего гамильтониана, рассматривается как функция переменных ... Са . .. и имеет абсолютный максимум при некотором фиксиро­ ванном наборе переменных... Са . . . , причем точка максимума единственна. В результате для свободной энергии и квазисредних получаем неожиданный ре­ зультат: вклад от четырехфермионного парного поло­ жительного взаимодействия в гамильтониан системы оказывается пренебрежимо малым для больших систем

V —> оо (см. § 3).

На основе проведенного рассмотрения в § 4 иссле­ дуется также модельная система более общего вида (формула (4.30) § 4). По существу, это исследование является вспомогательным для § 6, в котором форму­ лируется принцип минимакса. В результате получены оценки для свободных энергий и квазисредних.

В § 5 доказана единственность решений уравнений (формула (4.47)). Показано, что решения этих уравнений

менным ... t/p . . . . . . . £/р ... При этом мы опирались

13

здесь на теорему о неявных функциях, поскольку все условия для ее применения выполнены. Полученные результаты резюмированы теоремой 4.1.

В § 6 исследуются гамильтонианы с константами связи разных знаков и формулируется принцип минимакса. Проводится построение вспомогательной системы и составление предельных соотношений для свободных энергий и квазисредних. Найдено выражение для асимп­ тотически точного вычисления свободной энергии с по­ мощью принципа минимакса (формула (4.73)).

Подчеркнем, что при построении доказательства на­ хождения асимптотически точного решения для мо­ дельной системы (5), в котором ga принимают разные знаки, мы основывались на специально сконструиро­ ванном аппроксимирующем гамильтониане Ж (С, S)

независимые, далее связывались с помощью мини­ максной техники, а именно: из условия абсолютного

аппроксимирующего гамильтониана строилась свободная энергия и уже в окончательных мажорационных нера­ венствах брался абсолютный минимум свободной энергии по переменным

S„ . . . . Sr: minf(H0(C(S), S)).

(S)

Оказывается, что обращение последовательности операций взятия максимума, минимума приводит к не­ верному результату.

Был рассмотрен также вопрос об определении квази­ средних и о построении гамильтониана с источниками. В результате получены равномерные по температуре мажорационные оценки для соответствующих квази­ средних. Показано, что эта задача сводится к гамиль­ тониану (9)—(12), и поскольку все дополнительные усло­ вия (из § 1главы 1) выполнены, можно применять к этому

19

В пятой главе рассмотрен способ вычисления квази­ средних для модельной системы с четырехфермионным отрицательным взаимодействием. Особенность этого подхода, который не предполагает дополнения основной системы членами с «источниками», состоит в специаль­ ном исследовании модельной системы с помощью вве­ дения «приближенно коммутирующих» ферми-опера- торов. Такой подход вычисления квазисредних, как показано в работе, является вполне реальным. Попутно предложены примеры вычисления квазисредних.

Итак, в заключение отметим, что в этой работе была решена сложная проблема построения мажорационных оценок для многовременных средних в случае модельных систем с четырехфермионным взаимодей­ ствием достаточно широкого класса. Предложенные в работе методы решения этой проблемы несомненно найдут применение не только для рассмотренных здесь модельных систем, связанных с теорией сверхпроводи­ мости. Теоретические методы, развитые в главах 1 и 2, применимы к гораздо более широкому классу модельных систем статистической физики и теории элементарных частиц.

§ 2. Замечания о квазисредних

Поскольку мы в дальнейшем будем употреблять выра­ жение «квазисредние», предложим вводный раздел без надлежащей «математической обоснованности», пояс­ няющий физический смысл понятия «квазисредние» [42] и его связи с вопросом вырождения состояния ста­ тистического равновесия. Отметим, что предлагаемый раздел носит ознакомительный характер и прямого отно­ шения к основному тексту глав (1 — 4) не имеет.

Здесь мы поясним физический смысл «квазисредних», введенных в работах Н. Н. Боголюбова [10, 11], на ряде несложных модельных примеров, заимствованных из статистической физики.

Рассмотрим сначала понятие вырождения состояния статистического равновесия. Отметим, что понятие вы­ рождения хорошо известно в квантовой механике [43].

При рассмотрении задач о нахождении собственных волновых функций в квантовой механике поясняется, что теорию возмущений в обычной форме, разрабо­ танной для задач без вырождения, нельзя применять

20

к задачам, имеющим вырождения. Для этого ее следует видоизменить.

В задачах статистической физики в связи с нали­ чием аддитивных законов сохранения всегда имеют место случаи вырождения.

Однако на первый взгляд может показаться, что в этих задачах вырождение неэффективно и его практи­ чески можно не учитывать. В самом деле, в отмеченных задачах квантовой механики одному собственному зна­ чению энергии может соответствовать линейное много­ образие из рассматриваемых собственных функций; собственные функции в таком случае содержат неопре­ деленные постоянные.

В статистической же физике среднее значение любой динамической величины 21 всегда определено однозначно:

Sp 9Те~я,е

функции Грина Г-произведения должны определяться однозначно.

Отсюда и может показаться, что при изучении со­ стояния статистического равновесия, скажем, с помощью диаграммной техники, можно не принимать во внимание наличие вырождения. Однако в действительности си­ туация выглядит сложнее.

Чтобы составить интуитивное представление о ха­

где f — пространственные точки, соответствующие узлам решетки (лежащие в объеме V), S f — операторы спина электрона в узле /, /(/, —/2) — обменный интеграл. Для определенности положим: /(/) —/2) ^ 0 для всех flt /2.

Заметим, что для системы (23) каждая из компонент суммарного спина

21