Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 82
Скачиваний: 0
причем
Р,-(ЭИ)-уО, У->оо
при любом фиксированном значении ЙЙ. Тем самым предельное соотношение (4.61) доказано и условия при менимости теоремы 3.2 оказываются выполненными.
Воспользовавшись этой теоремой, убеждаемся в су
ществовании точек 5 = S, в которых функция /00{Я7-(5)} достигает своего наименьшего значения
foo(Ят(5)} = min {Нт(5)}. |
(4.64) |
s |
|
Далее, на основании (4.63) и пункта 2) теоремы 3.2, замечаем, что
I fv (Я) - |
L |
{Нт (S)} к |
би = е ( f ) + 6Y, |
|
бк = |
4 |
Q2 у ; |
+ |
(4-65) |
^ |
Р (2GQ0, |
|||
|
|
а—I |
|
|
где G — наибольшая из |
констант gu . .. , gr, a e | ^ j —■ |
|||
соответствующая величина е из теоремы 3.1 для гамиль тониана (4.60).
Подчеркнем, что |
|
|
—> 0, 6^->0 при |
V -> оо |
(4.66) |
равномерно по 0 в интервале (0 < |
0 ^ 0О). |
|
Обратим теперь наше внимание на примечание к тео реме 3.4 (см. стр. 128). Поскольку условия теоремы 3.2 выполнены, мы можем на основании этого примечания утверждать, что
о < f v (Гг) - М Я ) < 6 , + 6,
и |
|
|
|
|
|
|
|
<(/а - |
S„) (/„ - |
Sa)>r |
< |
, |
(4.67) |
||
а—1 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
Гт = Я + 2 V 2 |
£ита(/а - Sa) ( / а - |
X ) |
|
||||
|
|
а=1 |
|
|
|
|
|
(0 < |
та < 1, |
а = |
1, . . ., |
г 4- s), |
|
(4.68) |
|
т0 — наименьшее |
из |
чисел та. |
|
|
|
||
155
После сделанных замечаний возвратимся к прило жению теоремы 4.1 для гамильтониана Hr (S).
Учитывая пункты 2), 3) этой теоремы, видим, что
L {Нт(S)} = шах L {Нт(С, S)} = f" {Нт(С (5), 5)}, (4.69)
С
где
Нт{С, S) — Т0+ 4V 2 ёа{Са^а + Са/ а —- Са • C J
а=!
|
— 2У 2 ga {SaL + |
Sah ~ SaSa} |
(4.70) |
||
|
а=1 |
|
|
|
|
и где C = C(S) определяется |
уравнениями |
|
|||
~ L { H |
T(C, 5)} = 0, |
01,а |
|
S)} = 0, |
(4.71) |
оса |
|
|
|
|
|
имеющими при данном 5 единственное решение |
|
||||
Из (4.69) следует, что |
|
|
|
||
L { H T(S)} = L { H T(C(S), |
S)} = |
|
|
|
|
= min |
{Hг (С (5), 5)} = min max |
{HT (C, S)}, |
(4.72) |
||
s |
|
s |
c |
|
|
и потому в силу (4.65) получим |
|
|
|||
|
lim fv (Н) = |
minmax/!00{//r (С, S)}. |
(4.73) |
||
|
Н-»°о |
s |
c |
|
|
Мы нашли здесь выражение для асимптотического вы числения свободной энергии с помощью «принципа минимакса», развитого в нашей работе [37].
Заметим далее, что на основании теоремы 4.1 выра жение
U t f r (C, S)} |
(4.74) |
является непрерывной функцией с непрерывными част
ными производными по переменным . . . Са . . . |
Са ... |
. •. 5р ... 5^ . .. , а Са (S) — по переменным Sp ... Sp.
Следовательно, /«*, {Нт[С(5), 5)} непрерывна и обла дает непрерывными частными производными по пере
менным ... Sp ... Sp ...
156
Поэтому раз точка S = S реализует абсолютный ми нимум этой функции, будем иметь
d L [ HrlC(S), S)} |
|
|
<>L{Hr |
У] |
(4.75) |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для S = S. |
того, |
что C = C(S) |
удовлетворяет |
уравне |
||||
Но ввиду |
||||||||
ниям (4.71), |
можем |
написать |
|
|
|
|||
a U 'M c w .s ) } |
...y f |
dL |
\н т(с’ s)) |
дСа ^ + |
||||
<3Sp |
|
|
^ |
l |
дСа |
|
С=С (S) |
|
|
|
|
а—1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
+ |
dL \ H T ( C,S)} |
|
|
|
|
|
|
|
|
dSa |
С=С (S) |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Со = |
Са = Са (S), |
= |
Sp |
(4.76) |
|||
является решением уравнений (4.71) и |
|
|
||||||
dL \ HT |
s)) |
= 0, |
дИ |
н т(С>5)) =0. |
(4.77) |
|||
|
(35„ |
|
|
|
|
08я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но, по определению абсолютного минимума, |
|
|||||||
Ц Н Т {С, |
S K L [HT (C(S), S)}. |
|
||||||
Пусть теперь |
|
|
С = С, |
S = S |
|
(4-78) |
||
|
|
|
|
|||||
является каким-то другим решением системы уравнений (4.71) , (4.77). Тогда из (4.71) сразу же следует, что
С = С (S). Поэтому
foo №т (С, S ) } ^ f m {HT(C, S)}.
Как видно, (4.76) является таким решением уравнений (4.71) , (4.77), которое дает функции (4.74) наименьшее
значение на |
множестве |
точек (С, S), удовлетворяющих |
|
уравнениям |
(4.71), |
(4.77). |
удовлетворяет (4.71), (4.77) и |
Обратно, |
если |
(4.78) |
|
дает функции (4.74) наименьшее значение на этом мно жестве, то
L { n T(C(S), |
S)) = |
= |
S )} = f„ { H T{C, S)} = minfx {HT(C(S), S)}. |
|
S |
157
Таким образом, принцип минимакса для определения С,
S — нахождение C = C(S) из условия абсолютного мак симума функции (4.74) в пространстве всех С при за
данных 5 с последующим |
определением 5 = |
S из усло |
вия абсолютного минимума |
{Нт(С (S), 5)) |
в простран |
стве всех S — эквивалентен нахождению такого решения уравнений (4.71), (4.77), которое дает функции (4.74) наименьшее значение из всех решений этих уравнений.
Раскроем теперь уравнения (4.71), (4.77).
Исходя из выражения (4.70), для НТ(С, S) обычным путем получим
|
г |
|
r+s |
/ос \НТ (С> S)) — 4 ^ |
gaCaCa + 2 |
gaSaSa + |
|
|
а=1 |
|
а=1 |
+ |
(Г(/) — £■(/) — 2 0 In (1 + e ~Eim))df, (4.79) |
||
|
= |
£ 2(/) = |
^ (f) + |Q(/)P, |
r+s
Q (/) = 2 S £<Ла (/) Sa -
a=l
г
4 S g aK (/) Ca,
a=I
и потому рассматриваемые уравнения могут быть пред ставлены в форме
, |
J |
Г |
■ |
, р , П, |
<4'80> |
s- = w |
|
a(nK(t)th(A£-)df, |
|
||
Отсюда следует, что для всякого решения |
этих урав |
||
нений |
|
|
|
Ca = Sa |
( a = l , |
г) |
(4.81) |
и |
|
|
|
fao{ffT(C, |
S)} = fx {H(C, |
S)}, |
(4.82) |
158
где |
|
|
|
|
Я (С, 5) |
— Я (С, |
- > £V> |
*^r+i> *■*j *Sr |.5) — |
|
|
T0 + 2 V y i ga {CaJa + CJa - |
CaCJ - |
||
|
|
а=1 |
|
|
|
|
2 |
ge {Sa?a + S V a - 5 aSa} (4.83) |
|
|
|
a—r+I |
|
|
|
|
|
r+ s |
|
L{H(C, |
S)} = ~ 2 % gaCaCa -f- 2 2 |
gaSaSa + |
||
|
|
a= l |
a = r+ l |
|
+ Tok)F J ^ ^ ~ E (f) --2Q !n (! + e~£ (f)/0)} df, (4.84)
=E (f) = V T 2(/) + 1Q (/) p,
Q(/) = 2 S |
gaK ( f ) S a - 2 ' Z g aXa(f)Ca |
a = r+ l |
a=l |
Ясно также, что рассматриваемые уравнения (4.80) эквивалентны уравнениям
о ^ Щ Я 5 П = |
0) |
^ |
Ш ^ ) ) |
=яо ( а = = 1 | 2, ... , г)> |
||||
,эса |
’ |
|
ас; |
|
|
|
|
(4.85) |
Ясс ЯП с, S)}. _ n |
df«, (я (с. $)} |
п |
, _ |
' I |
. |
|||
|
и, |
|
<?5 |
^ |
|
А> |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с дополнительными |
равенствами |
(4.81). |
|
Основываясь |
||||
на (4.82), можем теперь утверждать, что ранее сформу
лированный |
способ нахождения величин Си . . . , Сп |
|||||
S], . . . , Sr+s эквивалентен |
следующему, |
|
||||
а) |
Величины |
|
|
|
||
С, |
с „ |
. . . , |
СГ^ С Г |
Sr + 1 |
^r+i> • • • > Sr+s |
Sr+s |
являются |
также решениями |
системы уравнений |
(4.85), |
|||
которые дают функции |
|
|
|
|||
|
|
|
L iH ( C ,S ) } |
(4.86) |
||
наименьшее значение на множестве всех решений этих
уравнений Sa = |
Ca для |
a = |
1, . .. , г. |
|
Ь) Повторяя |
рассуждения, проводившиеся выше для |
|||
/оо (Яг (С, S)}, |
видим, |
что |
такая |
методика опреде |
ления |
С|, ... , |
Cr, Sr+I, . .. , |
Sr+s |
|
|
||||
эквивалентна следующей минимаксной формулировке.
159