Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

n ( G / |i )

• Подагая

, то отсюда и в силу

леммы 89

нт-пя^ю- Щ‘Щю-щущ)-

• д а ) ( Е А

'4 * 0

i*o

*

.

'1-о

-

Откуда

= 1

и

- f (^П )=± lit гР{Н)

,

который

централь­

ный лишь

при

условии

ttj_ e j i . ^

•

Следовательно,

±

-

клас­

совая

сумма и

6с f ( £ ? ) = 0

.

Если

Йг

-

класс

сопряженных элементов

группы

(т

,

to

f t i f t i = 3 A( C )

и

1

■

а

. г д е

!& *-!

% (С)

и

.

По доказанному

6 c f (й»р =

-tO .

Поэтому

Ьt ' f C S i R

J

» « £

. С другой стороны, в силу

равенства

'/ ( й Г й р

-

(R i)

и свойств

инволюции

k

t

f

(

M

; ) -

• = C

U i i l w ; .

Поэтому

Z -. vx/t

О Д

. a

отсюда

^= 1

*

«

1> 1

v , j « i

^

*

L

&**

всех

•

Следовательно,

в

каждом

столбце м али ­

цы4 (JC^)

только один из элементов отличен

от нуля.

Учитывая обра­

тимость матриц* и действие

'i

на

классовые суммы из

3 i( & )

* мы

получим,

что матрица

(о£цр

мономиальна.

Я

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Автоморфизм

f

г р .к .

Z G

называется

нормирован-

ни*,

если

'f(V (Z G ))=V (Z G ).

G можно

Очевидно,

что каждый автоморфизм группы

продолжить до

автоморфизма

г р .к . Z G

и

эти

автоморфизмы образуют

подгруппу

Л и Ь G

группы

нормированных автоморфизмов

сш.1 Z G

г р .к . z e .

ТЕОРЕМА 91, (Саксонов, Сегал) Если класс нильпотентности конеч­

ной группы

G не превышает

2, то каждый нормированный автоморфизм

г р .к .

Z G

представляется

в виде произведения внутреннего автомор­

физма рациональной г р .а .

AG

и

автоморфизма,

индуцированного авто­

морфизма

группы

G .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 3 силу теоремы 88 для нор (дарованного автомор­

физма -f

г р .к .

ZG

существует

такая

подстановка

6Г

,

что

-

109 -

■f(®i) *

. Докажем существование

такого

автоморфизма

4?

группы

G

,

что

e

fte-(i)

Так как для

абелевой группы

G

это непосредственно следует из

леммы 75,

то предположим,

что

G

-

неабелева,

и

,

где

Н t

«

€г*

*

Поскольку H i

-

подгруппа

из

цент- •

ра $(й)

группы

G

, то

по лемме

75

"f (Н,)£

^ ( б )

и

'ffcfi'fO O

**

.Т огда

-f(cf) f(U t)(£ -i)* o для

любого

£ с /J»,

и

Ж ) ( М ) - о

,

так как

чР(ф)

- обратимый

элемент.

Поэтому

Hi с

^ ( н 4)

и,

в

силу симметрии,

. Отсюда

О

и

( u t £ 6 , A t c H j .

Тогда

существует

такой

Ссм.стр. 92

)

^ ) » u ^ ( W

4 ( Z 6 ) W

O \

Так

как

l ^ c G '

,

то

(т*1А(2®Ч(&)). На отр. 92

показано,

что отображение

является изоморфизмом между базисными подгруппами

■fl.6)

и 6

г р .к .

Z G

.

Тогда

f i f

является

искомш

автоморфиз­

мом Ч>

группы

£ .

Отображение

'f f

1

можно рассматривать

как

автоморфизм

рацио­

нальной г р .к .

RG

,

который оставляет

поэлементно

неподвижна

центр

3(ftG)

г р .а .

ЁС

.

Поэтому

'f l * '1

оставляет

на месте

каж­

дый минимальный идемпотент

ei_

( i - i A . - . O

центра

алгебры

A fr

,

а его

ограничение

на

простом

компоненте

Й-G ci

, в

силу известной

теоремы об автоморфизмах простой алгебры, являеТоя внутренним авто­

морфизмам и индуцируется трансформированием с помощью элемента

X t t

A G t i

.

Тогда

■ ff'4

индуцируется

трансформированием

при

помощи элемента

Г 1 .* 1

,

так

как

AG =

... © RGe t

г ч

Отметим,

что

усилить

утверждение теоремы

за

счет

замены внут­

реннего

автоморфизма

алгебра

RG

внутренним

автоморфизмом

ZG-

нельзя, как показывает следующее утверждение.

Пусть

2-группа

G не является

гамильтоновой, а ее

коммутант

2-го порядка

и

показатель

Фактор-группы

G/g'

делит

Я.

Тогда

г р .к .

-

НО -

ZG

обладает нормированной

автоморфизмами, не представимой в

виде

произведения внутреннего

автоморфизма

кольца

ZG

и автомор­

физма, индуцируемого автоморфизмом группы

G

(Бовди,

£6] ) ,

ТЕОРЕМА 92. (Д

.Смирнов

[21

, Бовди

)

Если

V (Z G )« G

,

то

группа

iflu iZ G

изоморфна

полупрямоыу произведению группы

Л иМ у

на полное

прямое

произведение

X

циклических

групп второ­

го порядка, где X

- мощность множества

циклических

групп в

прямом

разложении

фактор-группы

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Каждый

^ P t^ tiiZ G

индуцирует автоморфизм

мультипликативной

группы

tt(ZG)

. Если

,

то

U(ZG)-

= & G

и для любого

CJ £ G

■ ?($)■ W

T t y )

5

где

f

ч. Ли1 G

, а

7 ф

-

целочисленный линейный характер

группы

G

, ядро

которого

содержит подгруппу

G1 ,

порожденную

квадратами

элементов группы

G .

Это вытекает

из

следующего равен­

ства

“

? ( * * ) - ? ( ? ) ? ( * ) =

•

Очевидно,

каждый автоморфизм

-f4

группы

U .(ZG )

. обладающий свой­

ство!

» Допускает представление вида ( 5 ) . Поэтому,

если

x *<^i«Ji+.

ZG

,

то

отображение

является автоморфизмом

г р .к .

ZG

, что

непосредственно

следует

из

представления ( 5 ) . Следовательно, группа

«A utZ G

изоморфна

под­

группе

СЯя *

«Аи.? li(Z G ))'i’(-0«-l^

t

Если

7 ($)

является

целочисленно

линейны!

характером

группы

^ G 4

#

то можно рассматривать

как характер

группы

G

,

и отобра.

жение

е ( е ^ ) - £ . ^ 7 ( ^ )

( £ * - О

является

автоморфизмом группы

U ( Z G )

, принадлежащим

СЬ

. Очевидно,

что каждый автоморфизм

- f t

OU

допускает однозначное представление в виде

У 8

, где

Ф

-

автоморфизм

ZG

,

индуцированный автоморфизмом

группы

G

J Iu lG

и Подгруппы

&

, которая

изоморфна

Н о т

(G/GS # )

- груп

пе целочисленных характеров абелевой группы

t Еоли

* '»

т0

W orn.O^J1, f t )

является

полным прямда

произведением групп

U o m ( « h G \@ )

, каждая

из

которых изоморфна

циклической группе второго порядка.

■

В силу теоремы 46 для каждой правоупорядоченной группы

О

нормированная мультипликативная группа V (Z £ )

совпадает с G

и

поэтому к

правоупорядоченным группам

применима доказанная выше

теорема

- 112

-

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ

Каргапоюв М.И.. Мерзляков Ю.И..

Основы теории групп, "Наука", 1972.

Курош А .Г ..

Теория групп,

Э-е издание, "Наука", 1968.

Ламбек И ..

Кольца и модули,

’Мир"^ 1971.

Пассман Д .СРоавтап. D .3 .

)

I n f in it e Group H inge, M arcel Dekker,

кольца, "Фиэматгиз", 1961.

Херстейн И .. Некоммутативные

кольца, "Мир", 1972.

Журнальная

литература

Айзекс и Пассман (

I e e e c e ,

I .

and

P ees■an,D^

Groups w ith

rep rea en ta -

tio n e o f bounded

d eg ree,

Canad. J .M a th ., 1 6 /1 9 6 4 /,

299 -709 .

Амицур (^ rn iteu r,

S .

)

Groups

w ith

r e p r e se n ta tio n s

o f

bounded

d eg ree,

I U io n i s J .

M ath., 5 /1 9 6 1 /,

1 9 8 -205 .

Ауслендер (' Aur

ender,M .) On r e g u la r group r in g s ,

P roc.

A aer.

Math.

S o c ., 8 /1 9 5 7 /,

658 -664 .

Берман С .Д .. Об уравнении x

l l

в целочисленном групповом кольце,

Укр.матем.ж.,

7(1955),

253.261.

2. Про одну необх1дну умову

1зоморф!аму ц!лочислених групових

к!лець, Допов!д|

АН УРСР, « (1 9 5 3 ), 313-316.

3. Групповые алгебры счетных

абелевых

^ -гр у п п ,

P ubl. M ath.,

Докл.

и сообщ. УиГУ, физмат., сер.3(1960), 56-57,

5 . Об

изоморфизме групповых алгебр прямых произведений примерных

Берман С Д . и Моллов

Т Д . . О групповых кольцах абелевых у»-групп лю­

бой мощности, Матем.заметки, 6(1969), 381-392.

Берман С Д . и Росса

А .Р .. О целочисленных групповых кольцах конечных

и периодических

групп,

Алгебра и матем.логика,

сборник,

Киев,

1966, 4**-53.

2. Про групоЫ

алгебри

зчислених пер!одичних

абелевих

труп,